関数 $f(x) = x^2 + 3x + m$ が与えられており、$m \le x \le m+2$ の範囲における最小値を $g$ とおく。 (1) 最小値 $g$ を $m$ を用いて表す。 (2) $m$ がすべての実数を変化するとき、$g$ の最小値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 + 3x + m$ が与えられており、$m \le x \le m+2$ の範囲における最小値を $g$ とおく。

(1) 最小値 $g$ を $m$ を用いて表す。

(2) $m$ がすべての実数を変化するとき、$g$ の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、$f(x)$ を平方完成して、軸の位置を求める。

$f(x) = x^2 + 3x + m = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + m$

軸は $x = -\frac{3}{2}$ である。

次に、定義域 $m \le x \le m+2$ と軸 $x = -\frac{3}{2}$ の位置関係によって場合分けを行う。

(i) $m + 2 < -\frac{3}{2}$ のとき、つまり $m < -\frac{7}{2}$ のとき、定義域の範囲内で $f(x)$ は減少関数であるため、$x = m+2$ で最小値をとる。

$g = f(m+2) = (m+2)^2 + 3(m+2) + m = m^2 + 4m + 4 + 3m + 6 + m = m^2 + 8m + 10$

(ii) $m \le -\frac{3}{2} \le m+2$ のとき、つまり $-\frac{7}{2} \le m \le -\frac{3}{2}$ のとき、軸が定義域に含まれるので、$x = -\frac{3}{2}$ で最小値をとる。

$g = f(-\frac{3}{2}) = (-\frac{3}{2})^2 + 3(-\frac{3}{2}) + m = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + m = -\frac{9}{4} + m$

(iii) $-\frac{3}{2} < m$ のとき、定義域の範囲内で $f(x)$ は増加関数であるため、$x = m$ で最小値をとる。

$g = f(m) = m^2 + 3m + m = m^2 + 4m$

以上より、

$g = \begin{cases} m^2 + 8m + 10 & (m < -\frac{7}{2}) \\ -\frac{9}{4} + m & (-\frac{7}{2} \le m \le -\frac{3}{2}) \\ m^2 + 4m & (m > -\frac{3}{2}) \end{cases}$

(2) $g$ の最小値を求める。

(i) $m < -\frac{7}{2}$ のとき、

$g = m^2 + 8m + 10 = (m+4)^2 - 6$

この範囲では、$m = -4$ は条件を満たさないので、最小値は持たない。

(ii) $-\frac{7}{2} \le m \le -\frac{3}{2}$ のとき、

$g = -\frac{9}{4} + m$ は単調増加なので、$m = -\frac{7}{2}$ で最小値をとる。

$g = -\frac{9}{4} - \frac{7}{2} = -\frac{9}{4} - \frac{14}{4} = -\frac{23}{4}$

(iii) $-\frac{3}{2} < m$ のとき、

$g = m^2 + 4m = (m+2)^2 - 4$

この範囲では、$m > -\frac{3}{2}$ なので、$m = -\frac{3}{2}$のときの値は$g=(-\frac{3}{2} + 2)^2 - 4 = \frac{1}{4} - 4 = -\frac{15}{4}$

最小値は$m = -2$のとき、$g = -4$をとる。

このとき、 $-\frac{3}{2} < -2$　は成り立たないので、これは不適。

$g$のグラフを描くと、$m = -\frac{7}{2}$ でつながっており、かつ$m > -\frac{3}{2}$のときに減少から増加に変わるので、$m \to -\frac{3}{2}$ のとき $g \to (-\frac{3}{2})^2 + 4(-\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} - 6 = -\frac{15}{4}$

この場合、 $m \to -\frac{3}{2}$ としているので $-\frac{15}{4}$ をとることはない。

したがって、$g$ の最小値は $-\frac{23}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $g = \begin{cases} m^2 + 8m + 10 & (m < -\frac{7}{2}) \\ -\frac{9}{4} + m & (-\frac{7}{2} \le m \le -\frac{3}{2}) \\ m^2 + 4m & (m > -\frac{3}{2}) \end{cases}$

(2) $-\frac{23}{4}$