不等式 $2n \le \sqrt{x} < 2n+1$ を満たす自然数 $x$ が17個あるとき、$n$ の値を求める。

1. 問題の内容

不等式 $2n \le \sqrt{x} < 2n+1$ を満たす自然数 $x$ が17個あるとき、$n$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、不等式 $2n \le \sqrt{x} < 2n+1$ の各辺を2乗して、$x$ の範囲を求める。

$(2n)^2 \le (\sqrt{x})^2 < (2n+1)^2$

$4n^2 \le x < 4n^2 + 4n + 1$

この不等式を満たす自然数 $x$ の個数は $(4n^2 + 4n + 1) - 4n^2 = 4n+1$ 個ではなく、$4n^2 + 4n$ から $4n^2$ までの整数の個数なので、$4n^2+4n - 4n^2 +1 = 4n+1$ 個である。

問題文から、この個数が17個であるから、$4n+1 = 17$ という方程式を解く。

$4n+1=17$

$4n = 16$

$n = 4$

ここで、$x$ は自然数なので、$x$ の最小値は $4n^2$ であり、最大値は $4n^2 + 4n$ となる。

よって、$4n^2 \le x \le 4n^2+4n$ となる整数 $x$ の個数は $4n^2 + 4n - 4n^2 + 1 = 4n + 1$ となる。

$4n+1 = 17$

$4n = 16$

$n = 4$

3. 最終的な答え

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