$2n \leq \sqrt{x} < 2n+1$ を満たす自然数 $x$ が17個あるとき、$n$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$2n \leq \sqrt{x} < 2n+1$ を満たす自然数 $x$ が17個あるとき、$n$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた不等式 $2n \leq \sqrt{x} < 2n+1$ を2乗すると、以下の不等式を得ます。

$(2n)^2 \leq x < (2n+1)^2$

$4n^2 \leq x < 4n^2 + 4n + 1$

この不等式を満たす自然数 $x$ の個数は、$4n^2 + 4n$ です。なぜなら、$4n^2+4n+1$ 含まないので、

$(4n^2+4n) - 4n^2 + 1= 4n+1$個になります。

問題文より、$4n+1 = 17$なので、

$4n=16$

$n=4$

したがって、n=4のとき、$x$の範囲は、

$4 \times 4^2 \leq x < 4 \times 4^2 + 4 \times 4 +1$

$64 \leq x < 64+16+1$

$64 \leq x < 81$

$x = 64, 65, \dots, 80$　となります。

xの個数は、80-64+1 = 17個となります。

3. 最終的な答え

$n=4$