2次方程式 $-x^2 + 4x + 2 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}$ を解にもち、$x^2$ の係数が1である2次方程式を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $-x^2 + 4x + 2 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}$ を解にもち、$x^2$ の係数が1である2次方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次方程式 $-x^2 + 4x + 2 = 0$ の両辺に $-1$ をかけて、$x^2 - 4x - 2 = 0$ とします。

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 4$

$\alpha\beta = -2$

次に、求める2次方程式の2つの解 $\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}$ の和と積を計算します。

和：

$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = \frac{4}{-2} = -2$

積：

$\frac{1}{\alpha} \cdot \frac{1}{\beta} = \frac{1}{\alpha\beta} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$

$x^2$ の係数が1である2次方程式は、$x^2 - (\text{2つの解の和})x + (\text{2つの解の積}) = 0$ で与えられるので、

$x^2 - (-2)x + (-\frac{1}{2}) = 0$

$x^2 + 2x - \frac{1}{2} = 0$

3. 最終的な答え

$x^2 + 2x - \frac{1}{2} = 0$