2次方程式 $2x^2 + 8x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\frac{2}{\alpha}, \frac{2}{\beta}$ を解とし、$x^2$ の係数が1である2次方程式を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 + 8x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\frac{2}{\alpha}, \frac{2}{\beta}$ を解とし、$x^2$ の係数が1である2次方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$2x^2 + 8x + 1 = 0$ を $x^2 + 4x + \frac{1}{2} = 0$ と変形する。

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = -4$ かつ $\alpha \beta = \frac{1}{2}$ である。

次に、$\frac{2}{\alpha}, \frac{2}{\beta}$ を解とする2次方程式を求める。

解の和は、

$\frac{2}{\alpha} + \frac{2}{\beta} = 2 \left( \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} \right) = 2 \left( \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} \right) = 2 \left( \frac{-4}{\frac{1}{2}} \right) = 2 \cdot (-8) = -16$

解の積は、

$\frac{2}{\alpha} \cdot \frac{2}{\beta} = \frac{4}{\alpha \beta} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 4 \cdot 2 = 8$

したがって、求める2次方程式は、

$x^2 - (\text{解の和})x + (\text{解の積}) = 0$ より、

$x^2 - (-16)x + 8 = 0$

$x^2 + 16x + 8 = 0$

3. 最終的な答え

$x^2 + 16x + 8 = 0$