与えられた和 $\sum_{k=1}^{n} k(k+2)(k+3)$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた和 $\sum_{k=1}^{n} k(k+2)(k+3)$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、$k(k+2)(k+3)$を展開する。

\begin{align*}

k(k+2)(k+3) &= k(k^2 + 5k + 6) \\

&= k^3 + 5k^2 + 6k

\end{align*}

次に、和の性質を利用して、各項ごとに和を計算する。

\begin{align*}

\sum_{k=1}^{n} k(k+2)(k+3) &= \sum_{k=1}^{n} (k^3 + 5k^2 + 6k) \\

&= \sum_{k=1}^{n} k^3 + 5 \sum_{k=1}^{n} k^2 + 6 \sum_{k=1}^{n} k

\end{align*}

ここで、以下の公式を利用する。

\begin{align*}

\sum_{k=1}^{n} k &= \frac{n(n+1)}{2} \\

\sum_{k=1}^{n} k^2 &= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\

\sum_{k=1}^{n} k^3 &= \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2

\end{align*}

これらの公式を代入する。

\begin{align*}

\sum_{k=1}^{n} k(k+2)(k+3) &= \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 + 5 \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right) + 6 \left( \frac{n(n+1)}{2} \right) \\

&= \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{5n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{6n(n+1)}{2} \\

&= \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{5n(n+1)(2n+1)}{6} + 3n(n+1) \\

&= \frac{3n^2(n+1)^2 + 10n(n+1)(2n+1) + 36n(n+1)}{12} \\

&= \frac{n(n+1) [3n(n+1) + 10(2n+1) + 36]}{12} \\

&= \frac{n(n+1) [3n^2 + 3n + 20n + 10 + 36]}{12} \\

&= \frac{n(n+1) [3n^2 + 23n + 46]}{12}

\end{align*}

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(3n^2+23n+46)}{12}$