2つの二次方程式 $x^2 + x + k = 0$ と $x^2 + kx + 1 = 0$ について、以下の条件を満たす定数 $k$ の範囲を求めます。 (1) 2つの二次方程式がともに実数解を持つ (2) 少なくとも一方の二次方程式が実数解を持つ

1. 問題の内容

2つの二次方程式 $x^2 + x + k = 0$ と $x^2 + kx + 1 = 0$ について、以下の条件を満たす定数 $k$ の範囲を求めます。

(1) 2つの二次方程式がともに実数解を持つ

(2) 少なくとも一方の二次方程式が実数解を持つ

2. 解き方の手順

(1) ともに実数解を持つ場合

二次方程式が実数解を持つための条件は、判別式 $D$ が $D \geq 0$ となることです。

$x^2 + x + k = 0$ の判別式を $D_1$ とすると、

$D_1 = 1^2 - 4(1)(k) = 1 - 4k$

$D_1 \geq 0$ より、

$1 - 4k \geq 0$

$4k \leq 1$

$k \leq \frac{1}{4}$

$x^2 + kx + 1 = 0$ の判別式を $D_2$ とすると、

$D_2 = k^2 - 4(1)(1) = k^2 - 4$

$D_2 \geq 0$ より、

$k^2 - 4 \geq 0$

$(k - 2)(k + 2) \geq 0$

$k \leq -2$ または $k \geq 2$

$k \leq \frac{1}{4}$ かつ ($k \leq -2$ または $k \geq 2$) を満たす $k$ の範囲を求めます。

$k \leq -2$

(2) 少なくとも一方が実数解を持つ場合

少なくとも一方が実数解を持つということは、両方とも実数解を持たない場合を全体から除けば良いです。

言い換えると、$D_1 \geq 0$ または $D_2 \geq 0$ となる $k$ の範囲を求めることになります。

$D_1 < 0$ かつ $D_2 < 0$ となる $k$ の範囲を求めて、それ以外の範囲を求めます。

$D_1 < 0$ より、

$k > \frac{1}{4}$

$D_2 < 0$ より、

$-2 < k < 2$

したがって、$D_1 < 0$ かつ $D_2 < 0$ となるのは、$\frac{1}{4} < k < 2$ のときです。

したがって、少なくとも一方が実数解を持つ $k$ の範囲は、$k \leq \frac{1}{4}$ または $k \geq 2$ となります。

これは、$k < \frac{1}{4} < k < 2$ の否定になります。

3. 最終的な答え

(1) $k \leq -2$

(2) $k \leq \frac{1}{4}$ または $k \geq 2$