(1) $\frac{1}{1+\sqrt{5}+\sqrt{6}}$ および (3) $\frac{1}{3+\sqrt{3}+\sqrt{6}}$ の分母を有理化する問題です。

はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、(1)と(3)について回答します。

1. 問題の内容

(1) $\frac{1}{1+\sqrt{5}+\sqrt{6}}$ および (3) $\frac{1}{3+\sqrt{3}+\sqrt{6}}$ の分母を有理化する問題です。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$1+\sqrt{5}=A$ とおくと、$\frac{1}{A+\sqrt{6}}$ となります。分母を有理化するために、$A-\sqrt{6}$ を分母と分子にかけます。

$$\frac{1}{A+\sqrt{6}} = \frac{A-\sqrt{6}}{(A+\sqrt{6})(A-\sqrt{6})} = \frac{A-\sqrt{6}}{A^2 - 6}$$

$A = 1+\sqrt{5}$ を代入して、$A^2$ を計算します。

$$A^2 = (1+\sqrt{5})^2 = 1 + 2\sqrt{5} + 5 = 6 + 2\sqrt{5}$$

したがって、

$$\frac{A-\sqrt{6}}{A^2 - 6} = \frac{1+\sqrt{5}-\sqrt{6}}{6+2\sqrt{5}-6} = \frac{1+\sqrt{5}-\sqrt{6}}{2\sqrt{5}}$$

さらに分母を有理化するために、$\sqrt{5}$ を分母と分子にかけます。

$$\frac{(1+\sqrt{5}-\sqrt{6})\sqrt{5}}{2\sqrt{5}\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} + 5 - \sqrt{30}}{10}$$

(3)

まず、$3+\sqrt{3}=B$ とおくと、$\frac{1}{B+\sqrt{6}}$ となります。分母を有理化するために、$B-\sqrt{6}$ を分母と分子にかけます。

$$\frac{1}{B+\sqrt{6}} = \frac{B-\sqrt{6}}{(B+\sqrt{6})(B-\sqrt{6})} = \frac{B-\sqrt{6}}{B^2 - 6}$$

$B = 3+\sqrt{3}$ を代入して、$B^2$ を計算します。

$$B^2 = (3+\sqrt{3})^2 = 9 + 6\sqrt{3} + 3 = 12 + 6\sqrt{3}$$

したがって、

$$\frac{B-\sqrt{6}}{B^2 - 6} = \frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{12+6\sqrt{3}-6} = \frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{6+6\sqrt{3}} = \frac{3+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{6(1+\sqrt{3})}$$

さらに分母を有理化するために、$1-\sqrt{3}$ を分母と分子にかけます。

$$\frac{(3+\sqrt{3}-\sqrt{6})(1-\sqrt{3})}{6(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} = \frac{3 - 3\sqrt{3} + \sqrt{3} - 3 - \sqrt{6} + \sqrt{18}}{6(1-3)} = \frac{-2\sqrt{3}-\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{6(-2)} = \frac{-2\sqrt{3}-\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{-12} = \frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}-3\sqrt{2}}{12}$$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{5} + 5 - \sqrt{30}}{10}$

(3) $\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}-3\sqrt{2}}{12}$