次の式の分母を有理化せよ。 (2) $\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$

## 問題の回答

1. 問題の内容

次の式の分母を有理化せよ。

(2) $\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

まず、分母を有理化するために、$1+\sqrt{2}+\sqrt{3}$ を $A+B$ の形にすることを考えます。ここでは、$A = 1+\sqrt{3}$、$B = \sqrt{2}$ とします。

分母の共役な複素数である $A-B = 1+\sqrt{3}-\sqrt{2}$ を分母分子に掛けます。

$\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

分子と分母に $1+\sqrt{3}-\sqrt{2}$ を掛けます。

$\frac{(1-\sqrt{2}+\sqrt{3})(1-\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3}+\sqrt{2})(1+\sqrt{3}-\sqrt{2})}$

分母を計算します。

$(1+\sqrt{3}+\sqrt{2})(1+\sqrt{3}-\sqrt{2}) = (1+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 - 2 = 2+2\sqrt{3}$

分子を計算します。

$(1-\sqrt{2}+\sqrt{3})(1-\sqrt{2}+\sqrt{3}) = (1-\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 = (1-\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{3}(1-\sqrt{2}) + 3 = 1-2\sqrt{2} + 2 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{6} + 3 = 6 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{6}$

よって、

$\frac{6 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{6}}{2+2\sqrt{3}} = \frac{3 - \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{6}}{1+\sqrt{3}}$

さらに分母を有理化するために、$1-\sqrt{3}$ を分母分子に掛けます。

$\frac{(3 - \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{6})(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} = \frac{3 - \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{6} - 3\sqrt{3} + \sqrt{6} - 3 + \sqrt{2}}{1-3} = \frac{0 - 2\sqrt{3}}{-2} = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{3}$