実数 $x$, $y$ が $x \ge 0$, $y \ge 0$, $x+y=6$ を満たすとき、以下の問いに答えます。 (1) $x$ のとりうる値の範囲を求めます。 (2) $x^2 + y^2$ の最大値、最小値と、そのときの $x$, $y$ の値を求めます。

1. 問題の内容

実数 $x$, $y$ が $x \ge 0$, $y \ge 0$, $x+y=6$ を満たすとき、以下の問いに答えます。

(1) $x$ のとりうる値の範囲を求めます。

(2) $x^2 + y^2$ の最大値、最小値と、そのときの $x$, $y$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $x$ の範囲を求めます。

条件より、$x \ge 0$ であり、$x+y=6$ より $y = 6-x$ です。

また、$y \ge 0$ より $6-x \ge 0$ なので、$x \le 6$ です。

したがって、$0 \le x \le 6$ となります。

(2) $x^2 + y^2$ の最大値と最小値を求めます。

$x+y=6$ より $y = 6-x$ なので、$x^2 + y^2 = x^2 + (6-x)^2$ となります。

これを $f(x)$ とすると、

$f(x) = x^2 + (6-x)^2 = x^2 + 36 - 12x + x^2 = 2x^2 - 12x + 36 = 2(x^2 - 6x) + 36 = 2(x^2 - 6x + 9 - 9) + 36 = 2(x-3)^2 - 18 + 36 = 2(x-3)^2 + 18$

となります。

$0 \le x \le 6$ の範囲で $f(x) = 2(x-3)^2 + 18$ の最大値と最小値を求めます。

$f(x)$ は $x=3$ のとき最小値 $18$ をとります。

$x=0$ のとき $f(0) = 2(0-3)^2 + 18 = 2 \times 9 + 18 = 18 + 18 = 36$

$x=6$ のとき $f(6) = 2(6-3)^2 + 18 = 2 \times 9 + 18 = 18 + 18 = 36$

したがって、$f(x)$ は $x=0$ または $x=6$ のとき最大値 $36$ をとります。

最大値は $x=0$ のとき $y=6$, $x=6$ のとき $y=0$ であり、最大値は $36$ です。

最小値は $x=3$ のとき $y=3$ であり、最小値は $18$ です。

3. 最終的な答え

(1) $0 \le x \le 6$

(2) 最大値 $36$ ($x=0, y=6$ または $x=6, y=0$), 最小値 $18$ ($x=3, y=3$)