画像に写っている数学の問題を解きます。具体的には、以下の問題です。 * **1. 次の式を展開せよ。** * (2) (3x+5y)(2x-3y) * **2. 次の式を展開せよ。** * (1) (x+3)^3 * (3) (x+2y)^3 * (4) (x-3y)^3 * **3. 次の式を展開せよ。** * (3) (3x+1)(9x^2-3x+1) * (4) (3x-2y)(9x^2+6xy+4y^2) * **4. 次の式を因数分解せよ。** * (1) 25x^2-10x+1 * (2) 12x^2-xy-6y^2

1. 問題の内容

画像に写っている数学の問題を解きます。具体的には、以下の問題です。

* **

1. 次の式を展開せよ。**

* (2) (3x+5y)(2x-3y)

* **

2. 次の式を展開せよ。**

* (1) (x+3)^3

* (3) (x+2y)^3

* (4) (x-3y)^3

* **

3. 次の式を展開せよ。**

* (3) (3x+1)(9x^2-3x+1)

* (4) (3x-2y)(9x^2+6xy+4y^2)

* **

4. 次の式を因数分解せよ。**

* (1) 25x^2-10x+1

* (2) 12x^2-xy-6y^2

2. 解き方の手順

* **

1. (3x+5y)(2x-3y)**

* 展開して整理します。

$(3x+5y)(2x-3y) = 3x \cdot 2x + 3x \cdot (-3y) + 5y \cdot 2x + 5y \cdot (-3y)$

$= 6x^2 - 9xy + 10xy - 15y^2$

$= 6x^2 + xy - 15y^2$

* **

2. (x+3)^3**

* $(x+3)^3$ を $(x+3)(x+3)(x+3)$ と展開するのではなく、公式 $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ を使います。

$(x+3)^3 = x^3 + 3x^2(3) + 3x(3^2) + 3^3$

$= x^3 + 9x^2 + 27x + 27$

* **

3. (x+2y)^3**

* 公式 $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ を使います。

$(x+2y)^3 = x^3 + 3x^2(2y) + 3x(2y)^2 + (2y)^3$

$= x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3$

* **

4. (x-3y)^3**

* 公式 $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ を使います。

$(x-3y)^3 = x^3 - 3x^2(3y) + 3x(3y)^2 - (3y)^3$

$= x^3 - 9x^2y + 27xy^2 - 27y^3$

* **

5. (3x+1)(9x^2-3x+1)**

* 公式 $(a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$ を使います。

$(3x+1)(9x^2-3x+1) = (3x+1)((3x)^2 - (3x)(1) + 1^2)$

$= (3x)^3 + 1^3$

$= 27x^3 + 1$

* **

6. (3x-2y)(9x^2+6xy+4y^2)**

* 公式 $(a-b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$ を使います。

$(3x-2y)(9x^2+6xy+4y^2) = (3x-2y)((3x)^2 + (3x)(2y) + (2y)^2)$

$= (3x)^3 - (2y)^3$

$= 27x^3 - 8y^3$

* **

7. 25x^2-10x+1**

* $(ax+b)^2$の形になることを疑い、$a$と$b$を探します。

$25x^2 - 10x + 1 = (5x)^2 - 2(5x)(1) + 1^2 = (5x - 1)^2$

* **

8. 12x^2-xy-6y^2**

* たすき掛けを使って因数分解します。

$12x^2-xy-6y^2 = (4x + 3y)(3x - 2y)$

3. 最終的な答え

*

1. (2) $6x^2 + xy - 15y^2$

*

2. (1) $x^3 + 9x^2 + 27x + 27$

* (3) $x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3$

* (4) $x^3 - 9x^2y + 27xy^2 - 27y^3$

*

3. (3) $27x^3 + 1$

* (4) $27x^3 - 8y^3$

*

4. (1) $(5x - 1)^2$

* (2) $(4x + 3y)(3x - 2y)$