(1) 2次式 $-2x^2 - 4x + 1$ を平方完成させる。 (2) 2次関数 $y = -2x^2 - 4x + 1$ のグラフを描く。

1. 問題の内容

(1) 2次式 $-2x^2 - 4x + 1$ を平方完成させる。

(2) 2次関数 $y = -2x^2 - 4x + 1$ のグラフを描く。

2. 解き方の手順

(1) 平方完成の手順

まず、$x^2$ の係数で括り出す。

$-2x^2 - 4x + 1 = -2(x^2 + 2x) + 1$

次に、$x^2 + 2x$ を $(x+a)^2 - a^2$ の形に変形する。

$x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1^2 = (x+1)^2 - 1$

上記の式を元の式に代入する。

$-2((x+1)^2 - 1) + 1 = -2(x+1)^2 + 2 + 1 = -2(x+1)^2 + 3$

(2) グラフを描く手順

平方完成した式 $y = -2(x+1)^2 + 3$ から、頂点の座標は $(-1, 3)$ であることがわかる。

また、$x^2$ の係数が $-2$ なので、上に凸なグラフとなる。

グラフを描く際には、頂点の座標をまずプロットし、上に凸な放物線を描く。必要に応じて、y軸との交点 ($x=0$ のときの $y$ の値) を計算する。

$y = -2(0)^2 - 4(0) + 1 = 1$ なので、$y$軸との交点は $(0, 1)$ である。

3. 最終的な答え

(1) $-2(x+1)^2 + 3$

(2) グラフは頂点 $(-1, 3)$ を持ち、上に凸な放物線。y軸との交点は $(0, 1)$。