$a = \frac{1}{3-2\sqrt{2}}$ とする。 (1) $a$ の分母を有理化し、簡単にせよ。 (2) $a$ の小数部分を $b$ とするとき、$b$ の値を求めよ。また、$a^2 - b^2$ の値を求めよ。 (3) $b$ を(2)で求めた値とし、$p$ は定数とする。$x$ についての不等式 $p < x < p+4b$ を満たす整数 $x$ が全部で3個あり、その3個の整数の和が0となるような $p$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$a = \frac{1}{3-2\sqrt{2}}$ とする。

(1) $a$ の分母を有理化し、簡単にせよ。

(2) $a$ の小数部分を $b$ とするとき、$b$ の値を求めよ。また、$a^2 - b^2$ の値を求めよ。

(3) $b$ を(2)で求めた値とし、$p$ は定数とする。$x$ についての不等式 $p < x < p+4b$ を満たす整数 $x$ が全部で3個あり、その3個の整数の和が0となるような $p$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の分母を有理化する。

$a = \frac{1}{3-2\sqrt{2}} = \frac{3+2\sqrt{2}}{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})} = \frac{3+2\sqrt{2}}{9-8} = 3+2\sqrt{2}$

(2) $a$ の小数部分 $b$ を求める。

$2\sqrt{2} = \sqrt{8}$ であり、$2 < \sqrt{8} < 3$ より、$2 < 2\sqrt{2} < 3$ 。

したがって、$3+2 < 3+2\sqrt{2} < 3+3$ より、$5 < a < 6$。

よって、$a$ の整数部分は5であり、小数部分は $b = a-5 = (3+2\sqrt{2}) - 5 = 2\sqrt{2}-2$。

$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) = (3+2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}-2)(3+2\sqrt{2} - (2\sqrt{2}-2)) = (1+4\sqrt{2})(5) = 5+20\sqrt{2}$

(3) 不等式 $p < x < p+4b$ を満たす整数 $x$ が3個あり、それらの和が0となる場合を考える。

$4b = 4(2\sqrt{2}-2) = 8\sqrt{2}-8$

不等式は $p < x < p+8\sqrt{2}-8$ となる。

$x$ が3個の整数で、その和が0なので、それらは $-1, 0, 1$ である。

したがって、$p < -1$ かつ $1 < p+8\sqrt{2}-8$ を満たす必要がある。

$p < x$ より $p < -1$, $-1 < p+8\sqrt{2}-8$

$x < p+4b$ より $1 < p+8\sqrt{2}-8$

$-2$ は不等式を満たさないため $p \ge -2$

$2$ は不等式を満たさないため $p+8\sqrt{2}-8 \le 2$, $p \le 10 - 8\sqrt{2}$

整数 -1, 0, 1 が不等式を満たすためには,

$p < -1$ かつ $p+8\sqrt{2}-8 > 1$ を満たす必要がある。

よって, $p < -1$ かつ $p > 9-8\sqrt{2}$ を満たす必要がある。

したがって、$9-8\sqrt{2} < p < -1$。

$1 < 8\sqrt{2}-8+p$ より $9<8\sqrt{2}+p$ よって $9-8\sqrt{2}<p$

$p<-1$

$p+4b < 2$ だから $p+8\sqrt{2}-8 < 2$ より $p<10-8\sqrt{2}$

$9-8\sqrt{2} < p < 10-8\sqrt{2}$ より

$9-8\sqrt{2} < p < -1$ かつ $2$が含まれない条件 $p < 2-(8\sqrt{2}-8) = 10-8\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 3+2\sqrt{2}$

(2) $b = 2\sqrt{2}-2$, $a^2 - b^2 = 5+20\sqrt{2}$

(3) $9-8\sqrt{2} < p \le -1$