袋Aには白玉4個と黒玉5個、袋Bには白玉3個と黒玉2個が入っている。まずAから2個を取り出してBに入れ、次にBから2個を取り出してAに戻す。このとき、Aの中の白玉と黒玉の個数が初めと変わらない確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋Aには白玉4個と黒玉5個、袋Bには白玉3個と黒玉2個が入っている。まずAから2個を取り出してBに入れ、次にBから2個を取り出してAに戻す。このとき、Aの中の白玉と黒玉の個数が初めと変わらない確率を求めよ。

2. 解き方の手順

AからBへ移動する玉の組み合わせと、BからAへ戻る玉の組み合わせを考える。Aの白玉と黒玉の個数が変わらないためには、Aから取り出した玉の組み合わせと、Bから戻ってきた玉の組み合わせが同じでなければならない。以下の3つの場合が考えられる。

(1) Aから白玉2個を取り出し、Bから白玉2個を取り出す場合

(2) Aから黒玉2個を取り出し、Bから黒玉2個を取り出す場合

(3) Aから白玉1個と黒玉1個を取り出し、Bから白玉1個と黒玉1個を取り出す場合

それぞれの場合について確率を計算する。

(1) Aから白玉2個を取り出し、Bから白玉2個を取り出す場合

Aから白玉2個を取り出す確率は、

$\frac{{}_4C_2}{{}_9C_2} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

このとき、Bには白玉が5個、黒玉が2個入っている。

Bから白玉2個を取り出す確率は、

$\frac{{}_5C_2}{{}_7C_2} = \frac{10}{21}$

したがって、この場合の確率は、

$\frac{1}{6} \times \frac{10}{21} = \frac{10}{126} = \frac{5}{63}$

(2) Aから黒玉2個を取り出し、Bから黒玉2個を取り出す場合

Aから黒玉2個を取り出す確率は、

$\frac{{}_5C_2}{{}_9C_2} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$

このとき、Bには白玉が3個、黒玉が4個入っている。

Bから黒玉2個を取り出す確率は、

$\frac{{}_4C_2}{{}_7C_2} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$

したがって、この場合の確率は、

$\frac{5}{18} \times \frac{2}{7} = \frac{10}{126} = \frac{5}{63}$

(3) Aから白玉1個と黒玉1個を取り出し、Bから白玉1個と黒玉1個を取り出す場合

Aから白玉1個と黒玉1個を取り出す確率は、

$\frac{{}_4C_1 \times {}_5C_1}{{}_9C_2} = \frac{4 \times 5}{36} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$

このとき、Bには白玉が4個、黒玉が3個入っている。

Bから白玉1個と黒玉1個を取り出す確率は、

$\frac{{}_4C_1 \times {}_3C_1}{{}_7C_2} = \frac{4 \times 3}{21} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}$

したがって、この場合の確率は、

$\frac{5}{9} \times \frac{4}{7} = \frac{20}{63}$

上記の(1), (2), (3)の場合の確率を合計する。

$\frac{5}{63} + \frac{5}{63} + \frac{20}{63} = \frac{30}{63} = \frac{10}{21}$

3. 最終的な答え

$\frac{10}{21}$