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$x^2 + 6x + 4$ を因数分解せよ。

代数学因数分解二次方程式平方完成根号
2025/6/25

1. 問題の内容

x2+6x+4x^2 + 6x + 4 を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

与えられた式は x2+6x+4x^2 + 6x + 4 です。
この式は、因数分解可能な形ではありません。なぜなら、判別式 D=b2−4acD = b^2 - 4ac を計算すると、D=62−4(1)(4)=36−16=20>0D = 6^2 - 4(1)(4) = 36 - 16 = 20 > 0 となり、実数解を持つものの、整数解を持つわけではないからです。したがって、平方完成を利用して解を求めます。
x2+6x+4=(x2+6x)+4x^2 + 6x + 4 = (x^2 + 6x) + 4
x2+6xx^2 + 6x を平方完成させるために、(x+a)2=x2+2ax+a2(x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2 の形を考えます。2a=62a = 6 より、a=3a = 3 です。したがって、(x+3)2=x2+6x+9(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9 となります。
x2+6x=(x+3)2−9x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9
よって、x2+6x+4=(x+3)2−9+4=(x+3)2−5x^2 + 6x + 4 = (x + 3)^2 - 9 + 4 = (x + 3)^2 - 5 となります。
(x+3)2−5=(x+3)2−(5)2(x + 3)^2 - 5 = (x + 3)^2 - (\sqrt{5})^2
これは、差の二乗の形 a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) で表せます。ここで、a=x+3a = x + 3 で、b=5b = \sqrt{5} です。
したがって、
(x+3)2−5=(x+3+5)(x+3−5)(x + 3)^2 - 5 = (x + 3 + \sqrt{5})(x + 3 - \sqrt{5})

3. 最終的な答え

(x+3+5)(x+3−5)(x + 3 + \sqrt{5})(x + 3 - \sqrt{5})

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