2次方程式 $4x^2 - 4x - 2 = 0$ の解が $x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$ であることを利用して、$4x^2 - 4x - 2$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $4x^2 - 4x - 2 = 0$ の解が $x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$ であることを利用して、$4x^2 - 4x - 2$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$ から、$2x = 1 \pm \sqrt{3}$ となります。

次に、$2x - 1 = \pm \sqrt{3}$ と変形し、両辺を2乗すると、$(2x - 1)^2 = (\pm \sqrt{3})^2$ となります。

これを展開すると、$4x^2 - 4x + 1 = 3$ となり、$4x^2 - 4x - 2 = 0$ となります。

このことから、$4x^2 - 4x - 2$ は $(2x - (1 + \sqrt{3}))(2x - (1 - \sqrt{3}))$ を定数倍したものであることがわかります。

$4x^2 - 4x - 2 = a(x - \frac{1 + \sqrt{3}}{2})(x - \frac{1 - \sqrt{3}}{2})$ とおくと、$4x^2 - 4x - 2 = a (x^2 - x - \frac{1}{2})$となります。

ここで、$x^2$ の係数に着目すると、$4x^2 = a x^2$ となるので、$a = 4$ となります。

したがって、$4x^2 - 4x - 2 = 4 (x - \frac{1 + \sqrt{3}}{2})(x - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = (2x - (1 + \sqrt{3}))(2x - (1 - \sqrt{3}))$となります。

展開して確認すると、 $(2x - 1 - \sqrt{3})(2x - 1 + \sqrt{3}) = 4x^2 - 2x + 2\sqrt{3}x - 2x + 1 - \sqrt{3} - 2\sqrt{3}x + \sqrt{3} - 3 = 4x^2 - 4x - 2$ となります。

3. 最終的な答え

$(2x - 1 - \sqrt{3})(2x - 1 + \sqrt{3})$