第3項が45、第5項が405である等比数列 $\{a_n\}$ の初項、公比、および一般項を求める問題です。

1. 問題の内容

第3項が45、第5項が405である等比数列 $\{a_n\}$ の初項、公比、および一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

等比数列の一般項は $a_n = a r^{n-1}$ で表されます。ここで、$a$ は初項、$r$ は公比です。

問題文より、第3項が45、第5項が405なので、以下の式が成り立ちます。

$a_3 = ar^2 = 45$

$a_5 = ar^4 = 405$

これらの式を用いて、$a$ と $r$ を求めます。

$ar^4 = 405$ を $ar^2 = 45$ で割ると、

$\frac{ar^4}{ar^2} = \frac{405}{45}$

$r^2 = 9$

したがって、$r = \pm 3$ となります。

(i) $r = 3$ のとき、 $ar^2 = 45$ に代入すると、

$a(3)^2 = 45$

$9a = 45$

$a = 5$

(ii) $r = -3$ のとき、 $ar^2 = 45$ に代入すると、

$a(-3)^2 = 45$

$9a = 45$

$a = 5$

したがって、

(i) $a=5, r=3$ のとき、一般項は $a_n = 5 \cdot 3^{n-1}$

(ii) $a=5, r=-3$ のとき、一般項は $a_n = 5 \cdot (-3)^{n-1}$

3. 最終的な答え

初項: 5

公比: 3, -3

一般項: $a_n = 5 \cdot 3^{n-1}$, $a_n = 5 \cdot (-3)^{n-1}$