2次方程式 $-x^2 + 4x + 2 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}$ を解とし、$x^2$ の係数が1である2次方程式を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $-x^2 + 4x + 2 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}$ を解とし、$x^2$ の係数が1である2次方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次方程式を整理します。

$-x^2 + 4x + 2 = 0$ に $-1$ を掛けて、$x^2 - 4x - 2 = 0$ とします。

この2次方程式の解が $\alpha, \beta$ なので、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 4$

$\alpha\beta = -2$

が成り立ちます。

次に、$\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}$ を解とする2次方程式を求めます。

$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = \frac{4}{-2} = -2$

$\frac{1}{\alpha}\cdot\frac{1}{\beta} = \frac{1}{\alpha\beta} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$

求める2次方程式を $x^2 + px + q = 0$ とすると、解と係数の関係より、

$-\left(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}\right) = p$

$\frac{1}{\alpha}\cdot\frac{1}{\beta} = q$

したがって、

$p = -(-2) = 2$

$q = -\frac{1}{2}$

よって、求める2次方程式は

$x^2 + 2x - \frac{1}{2} = 0$

となります。分数を避けるために2倍すると $2x^2+4x-1=0$となりますが、問題文にx^2の係数が1と指示があるので、$x^2 + 2x - \frac{1}{2} = 0$が答えとなります。

3. 最終的な答え

$x^2 + 2x - \frac{1}{2} = 0$