与えられた無限級数の収束・発散を調べ、収束する場合はその和を求める問題です。 与えられた級数は次の通りです。 $\frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \cdots + \frac{1}{(3n-1)(3n+2)} + \cdots$

1. 問題の内容

与えられた無限級数の収束・発散を調べ、収束する場合はその和を求める問題です。

与えられた級数は次の通りです。

$\frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \cdots + \frac{1}{(3n-1)(3n+2)} + \cdots$

2. 解き方の手順

まず、一般項を部分分数分解します。

$\frac{1}{(3n-1)(3n+2)} = \frac{A}{3n-1} + \frac{B}{3n+2}$

両辺に$(3n-1)(3n+2)$をかけると

$1 = A(3n+2) + B(3n-1)$

$n = \frac{1}{3}$を代入すると

$1 = A(1+2) + 0$

$1 = 3A$

$A = \frac{1}{3}$

$n = -\frac{2}{3}$を代入すると

$1 = 0 + B(-2-1)$

$1 = -3B$

$B = -\frac{1}{3}$

したがって、

$\frac{1}{(3n-1)(3n+2)} = \frac{1}{3}(\frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2})$

次に、部分和を求めます。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(3k-1)(3k+2)} = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2})$

$S_n = \frac{1}{3} [(\frac{1}{2} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{8}) + (\frac{1}{8} - \frac{1}{11}) + \cdots + (\frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2})]$

$S_n = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} - \frac{1}{3n+2})$

無限級数の和は、部分和の極限として求められます。

$S = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3} (\frac{1}{2} - \frac{1}{3n+2})$

$S = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} - 0) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

与えられた無限級数は収束し、その和は $\frac{1}{6}$ です。