$x^4 - x^2 - 20$ を係数の範囲が有理数、実数、複素数の場合にそれぞれ因数分解する。

1. 問題の内容

$x^4 - x^2 - 20$ を係数の範囲が有理数、実数、複素数の場合にそれぞれ因数分解する。

2. 解き方の手順

まずは与えられた式を因数分解しやすい形に変形します。$x^2 = t$ とおくと、$x^4 - x^2 - 20 = t^2 - t - 20$ となります。

次に、この2次式を因数分解します。

$t^2 - t - 20 = (t - 5)(t + 4)$

ここで、$t = x^2$ に戻すと、

$x^4 - x^2 - 20 = (x^2 - 5)(x^2 + 4)$

ここから、係数の範囲に応じて因数分解を進めます。

(1) 係数の範囲が有理数の場合：

$(x^2 - 5)$ は有理数の範囲ではこれ以上因数分解できません。

$(x^2 + 4)$ も有理数の範囲ではこれ以上因数分解できません。

したがって、有理数の範囲での因数分解は $(x^2 - 5)(x^2 + 4)$ となります。

(2) 係数の範囲が実数の場合：

$(x^2 - 5) = (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})$ と因数分解できます。

$(x^2 + 4)$ は実数の範囲では、$x^2 = -4$ より $x = \pm 2i$ となり、実数係数ではこれ以上因数分解できません。

したがって、実数の範囲での因数分解は $(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})(x^2 + 4)$ となります。

(3) 係数の範囲が複素数の場合：

$(x^2 - 5) = (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})$ と実数の範囲と同様に因数分解できます。

$(x^2 + 4) = (x - 2i)(x + 2i)$ と複素数の範囲で因数分解できます。

したがって、複素数の範囲での因数分解は $(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})(x - 2i)(x + 2i)$ となります。

3. 最終的な答え

有理数: $(x^2 - 5)(x^2 + 4)$

実数: $(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})(x^2 + 4)$

複素数: $(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})(x - 2i)(x + 2i)$