数列 $\{a_n\}$ が与えられた漸化式 $a_{n+1} = 3a_n - 2$ および初期条件 $a_1 = 2$ を満たすとき、数列の一般項 $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられた漸化式 $a_{n+1} = 3a_n - 2$ および初期条件 $a_1 = 2$ を満たすとき、数列の一般項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

与えられた漸化式を特性方程式を用いて変形する。特性方程式を $x = 3x - 2$ とおくと、$2x = 2$ より $x = 1$ である。

よって、漸化式は以下のように変形できる。

$a_{n+1} - 1 = 3(a_n - 1)$

ここで、$b_n = a_n - 1$ とおくと、$b_{n+1} = 3b_n$ となる。これは公比が3の等比数列である。

初項は $b_1 = a_1 - 1 = 2 - 1 = 1$ である。

したがって、$b_n = 1 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}$ となる。

$a_n = b_n + 1$ であるから、

$a_n = 3^{n-1} + 1$

3. 最終的な答え

$a_n = 3^{n-1} + 1$