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与えられた3次式 $x^3 + 7x^2 + 15x + 9$ を因数分解する。

代数学因数分解多項式因数定理3次式
2025/6/25

1. 問題の内容

与えられた3次式 x3+7x2+15x+9x^3 + 7x^2 + 15x + 9 を因数分解する。

2. 解き方の手順

因数定理を利用して、与式が (x+a)(x+a) を因数に持つような aa を探す。
定数項が9なので、aの候補は ±1,±3,±9\pm 1, \pm 3, \pm 9 である。
x=−1x = -1 を代入すると、
(−1)3+7(−1)2+15(−1)+9=−1+7−15+9=0(-1)^3 + 7(-1)^2 + 15(-1) + 9 = -1 + 7 - 15 + 9 = 0
よって、与式は (x+1)(x+1) を因数に持つ。
次に、与式を (x+1)(x+1) で割る。割り算を実行すると、
x3+7x2+15x+9=(x+1)(x2+6x+9)x^3 + 7x^2 + 15x + 9 = (x+1)(x^2 + 6x + 9)
となる。
さらに、x2+6x+9x^2 + 6x + 9 を因数分解すると、
x2+6x+9=(x+3)2x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2
となる。
したがって、
x3+7x2+15x+9=(x+1)(x+3)2x^3 + 7x^2 + 15x + 9 = (x+1)(x+3)^2

3. 最終的な答え

(x+1)(x+3)2(x+1)(x+3)^2

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