大小中3個のサイコロを投げるとき、以下の問いに答える問題です。 (1) 全て異なる目が出る場合の数 (2) 目の積が奇数になる場合の数 (3) 目の積が偶数になる場合の数 (4) 目の積が20になる場合の数

1. 問題の内容

大小中3個のサイコロを投げるとき、以下の問いに答える問題です。

(1) 全て異なる目が出る場合の数

(2) 目の積が奇数になる場合の数

(3) 目の積が偶数になる場合の数

(4) 目の積が20になる場合の数

2. 解き方の手順

(1) 全て異なる目が出る場合

大のサイコロの目は6通り、中のサイコロの目は大のサイコロの目以外の5通り、小のサイコロの目は大と中のサイコロの目以外の4通り。したがって、

$6 \times 5 \times 4 = 120$ 通り

(2) 目の積が奇数になる場合

目の積が奇数になるのは、全てのサイコロの目が奇数になる場合のみ。サイコロの目は1, 2, 3, 4, 5, 6の6種類で、奇数は1, 3, 5の3種類。

したがって、各サイコロの目が奇数になる確率はそれぞれ3/6=1/2。

3つのサイコロの目が全て奇数になる場合の数は、

$3 \times 3 \times 3 = 27$ 通り

(3) 目の積が偶数になる場合

目の積が偶数になるのは、少なくとも1つのサイコロの目が偶数になる場合。これは、全ての場合の数から、全て奇数の場合を除いたもの。全ての場合の数は$6 \times 6 \times 6 = 216$通り。全て奇数の場合の数は(2)で求めた27通り。

したがって、目の積が偶数になる場合の数は、

$216 - 27 = 189$ 通り

(4) 目の積が20になる場合

3つのサイコロの目の積が20になる組み合わせを考える。20を素因数分解すると$20 = 2 \times 2 \times 5$。

考えられる組み合わせは以下の通り。

(1, 4, 5)の並び替え: $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$通り

(2, 2, 5)はありえない

(1, 2, 10)はありえない

したがって、目の積が20になる場合の数は、6通り

3. 最終的な答え

(1) 120通り

(2) 27通り

(3) 189通り

(4) 6通り