質量 $m$ の小物体が質量 $M$ の板の上に乗っている。小物体と板の間の動摩擦係数は $\mu$ で、板と床の間の摩擦は無視できる。時刻 $t=0$ で小物体に右向きの初速度 $v_0$ を与えると、板も同時に動き始める。右向きを正として、重力加速度の大きさを $g$ とする。 (1) 小物体が板に対して静止したときの板の速さ $V$ を求めよ。 (2) 小物体に初速度を与えてから、小物体が板に対して静止するまでの時間 $t$ を求めよ。

1. 問題の内容

質量 $m$ の小物体が質量 $M$ の板の上に乗っている。小物体と板の間の動摩擦係数は $\mu$ で、板と床の間の摩擦は無視できる。時刻 $t=0$ で小物体に右向きの初速度 $v_0$ を与えると、板も同時に動き始める。右向きを正として、重力加速度の大きさを $g$ とする。

(1) 小物体が板に対して静止したときの板の速さ $V$ を求めよ。

(2) 小物体に初速度を与えてから、小物体が板に対して静止するまでの時間 $t$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

運動量保存則を用いる。初めは小物体のみが速度 $v_0$ を持っているので、全運動量は $mv_0$ である。小物体が板に対して静止したとき、小物体と板は同じ速度 $V$ で運動しているので、全運動量は $(m+M)V$ となる。よって、

$mv_0 = (m+M)V$

これを $V$ について解くと、

$V = \frac{m}{m+M}v_0$

(2)

小物体の加速度 $a_m$ と板の加速度 $a_M$ を求める。

小物体が板から受ける動摩擦力は $\mu mg$ であり、この力は左向きに働く。よって、小物体の運動方程式は

$ma_m = -\mu mg$

したがって、

$a_m = -\mu g$

板が小物体から受ける動摩擦力は $\mu mg$ であり、この力は右向きに働く。よって、板の運動方程式は

$Ma_M = \mu mg$

したがって、

$a_M = \frac{\mu mg}{M}$

小物体が板に対して静止するとき、小物体の速度と板の速度が等しくなる。時刻 $t$ における小物体の速度 $v_m$ は

$v_m = v_0 + a_m t = v_0 - \mu g t$

時刻 $t$ における板の速度 $v_M$ は

$v_M = a_M t = \frac{\mu mg}{M}t$

$v_m = v_M$ となる時刻 $t$ を求める。

$v_0 - \mu g t = \frac{\mu mg}{M}t$

$v_0 = \mu g t + \frac{\mu mg}{M}t = \mu g t (1 + \frac{m}{M}) = \mu g t \frac{M+m}{M}$

$t = \frac{Mv_0}{\mu g (m+M)}$

3. 最終的な答え

(1) 板の速さ $V = \frac{m}{m+M}v_0$

(2) 時間 $t = \frac{Mv_0}{\mu g (m+M)}$