$p = 1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}$ および $q = 1 - \sqrt{2} - \sqrt{3}$ が与えられています。 (1) $pq$ の値を求めます。 (2) $p^2 + q^2$ および $p^3 - q^3$ の値をそれぞれ求めます。 (3) $p^6 - q^6$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$p = 1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}$ および $q = 1 - \sqrt{2} - \sqrt{3}$ が与えられています。

(1) $pq$ の値を求めます。

(2) $p^2 + q^2$ および $p^3 - q^3$ の値をそれぞれ求めます。

(3) $p^6 - q^6$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $pq$ の値を求めます。

$p = 1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}$ および $q = 1 - \sqrt{2} - \sqrt{3}$ なので、

$pq = (1 - \sqrt{2} + \sqrt{3})(1 - \sqrt{2} - \sqrt{3})$

$pq = ((1 - \sqrt{2}) + \sqrt{3})((1 - \sqrt{2}) - \sqrt{3})$

$pq = (1 - \sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2$

$pq = (1 - 2\sqrt{2} + 2) - 3$

$pq = 3 - 2\sqrt{2} - 3$

$pq = -2\sqrt{2}$

(2) $p^2 + q^2$ および $p^3 - q^3$ の値をそれぞれ求めます。

$p^2 = (1 - \sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = (1 - \sqrt{2})^2 + 2(1 - \sqrt{2})\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (1 - 2\sqrt{2} + 2) + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{6} + 3 = 6 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{6}$

$q^2 = (1 - \sqrt{2} - \sqrt{3})^2 = (1 - \sqrt{2})^2 - 2(1 - \sqrt{2})\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (1 - 2\sqrt{2} + 2) - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{6} + 3 = 6 - 2\sqrt{2} - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{6}$

$p^2 + q^2 = (6 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{6}) + (6 - 2\sqrt{2} - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{6}) = 12 - 4\sqrt{2}$

$p^3 - q^3 = (p-q)(p^2 + pq + q^2)$

$p - q = (1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}) - (1 - \sqrt{2} - \sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$

$p^2 + pq + q^2 = (p^2 + q^2) + pq = (12 - 4\sqrt{2}) + (-2\sqrt{2}) = 12 - 6\sqrt{2}$

$p^3 - q^3 = (2\sqrt{3})(12 - 6\sqrt{2}) = 24\sqrt{3} - 12\sqrt{6}$

(3) $p^6 - q^6$ の値を求めます。

$p^6 - q^6 = (p^3)^2 - (q^3)^2 = (p^3 - q^3)(p^3 + q^3)$

$p^3 + q^3 = (p+q)(p^2 - pq + q^2)$

$p + q = (1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}) + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{3}) = 2 - 2\sqrt{2}$

$p^2 - pq + q^2 = (p^2 + q^2) - pq = (12 - 4\sqrt{2}) - (-2\sqrt{2}) = 12 - 2\sqrt{2}$

$p^3 + q^3 = (2 - 2\sqrt{2})(12 - 2\sqrt{2}) = 24 - 4\sqrt{2} - 24\sqrt{2} + 8 = 32 - 28\sqrt{2}$

$p^6 - q^6 = (p^3 - q^3)(p^3 + q^3) = (24\sqrt{3} - 12\sqrt{6})(32 - 28\sqrt{2})$

$p^6 - q^6 = 24\sqrt{3}(32 - 28\sqrt{2}) - 12\sqrt{6}(32 - 28\sqrt{2}) = 768\sqrt{3} - 672\sqrt{6} - 384\sqrt{6} + 336\sqrt{12} = 768\sqrt{3} - 1056\sqrt{6} + 336(2\sqrt{3}) = 768\sqrt{3} - 1056\sqrt{6} + 672\sqrt{3} = 1440\sqrt{3} - 1056\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1) $pq = -2\sqrt{2}$

(2) $p^2 + q^2 = 12 - 4\sqrt{2}$、 $p^3 - q^3 = 24\sqrt{3} - 12\sqrt{6}$

(3) $p^6 - q^6 = 1440\sqrt{3} - 1056\sqrt{6}$