台形ABCDにおいて、AD // BCであり、ABの中点をEとする。Eから辺BCに平行な直線をひき、BD、CDとの交点をそれぞれF, Gとする。AD = 4cm, BC = 10cmのとき、EFとEGの長さを求めよ。

1. 問題の内容

台形ABCDにおいて、AD // BCであり、ABの中点をEとする。Eから辺BCに平行な直線をひき、BD、CDとの交点をそれぞれF, Gとする。AD = 4cm, BC = 10cmのとき、EFとEGの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、EFの長さを求める。

三角形ABDにおいて、EはABの中点であり、EF // BC, AD // BCより、EF // ADである。したがって、FはBDの中点となる。

よって、EFは三角形ABDの中点連結定理より、

$EF = \frac{1}{2} (AD + 0)$ではなく、$EF = \frac{1}{2}BC$ではない。

三角形ABDにおいて、EはABの中点であり、EF // ADであるから、中点連結定理より、FはBDの中点である。よって、

$EF = \frac{1}{2}AD$ではない。

EFは台形の中点連結定理を用いる。

$EF = \frac{1}{2}BC$ではない。

$EF = \frac{AD+BC}{2}$ではない。

三角形ABDにおいて、EはABの中点であり、EF // BCである。

三角形BCDにおいて、FはBDの中点である。

したがって、FはBDの中点であり、三角形BCDにおいて、FG // BCであるから、GはCDの中点である。

三角形ABDにおいて、EはABの中点、FはBDの中点であるから、中点連結定理より、

$EF = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} \times 4 = 2$ (cm)

次に、EGの長さを求める。

EG = EF + FG

三角形BCDにおいて、FはBDの中点、GはCDの中点であるから、中点連結定理より、

$FG = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \times 10 = 5$ (cm)

$EG = EF + FG = 2 + 5 = 7$ (cm)

あるいは、

EGは台形ABCDの中点連結線であるので、

$EG = \frac{AD+BC}{2} = \frac{4+10}{2} = \frac{14}{2} = 7$ (cm)

3. 最終的な答え

EF = 2 cm

EG = 7 cm