2次関数 $y = x^2 - 2ax + b + 5$ (a, bは定数であり、$a > 0$)のグラフが点$(-2, 16)$を通る。 (1) $b$を$a$を用いて表せ。また、関数①のグラフの頂点の座標を$a$を用いて表せ。 (2) 関数①のグラフが$x$軸と接するとき、$a$の値を求めよ。 (3) (2)のとき、$0 \leq x \leq k$ ($k$は正の定数)における関数①の最大値と最小値の和が5となるような$k$の値を求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2ax + b + 5$ (a, bは定数であり、$a > 0$)のグラフが点$(-2, 16)$を通る。

(1) $b$を$a$を用いて表せ。また、関数①のグラフの頂点の座標を$a$を用いて表せ。

(2) 関数①のグラフが$x$軸と接するとき、$a$の値を求めよ。

(3) (2)のとき、$0 \leq x \leq k$ ($k$は正の定数)における関数①の最大値と最小値の和が5となるような$k$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点$(-2, 16)$をグラフの式に代入して、$b$を$a$で表す。

$16 = (-2)^2 - 2a(-2) + b + 5$

$16 = 4 + 4a + b + 5$

$16 = 9 + 4a + b$

$b = 7 - 4a$

次に、関数①の式を平方完成して、頂点の座標を求める。

$y = x^2 - 2ax + (7 - 4a) + 5$

$y = (x^2 - 2ax + a^2) - a^2 + 12 - 4a$

$y = (x - a)^2 - a^2 - 4a + 12$

したがって、頂点の座標は $(a, -a^2 - 4a + 12)$

(2) 関数①のグラフが$x$軸と接するとき、頂点の$y$座標は0になる。

$-a^2 - 4a + 12 = 0$

$a^2 + 4a - 12 = 0$

$(a + 6)(a - 2) = 0$

$a = -6, 2$

$a > 0$より、$a = 2$

(3) (2)より、$a = 2$のとき、$y = (x - 2)^2 - 4 - 8 + 12 = (x - 2)^2$

$0 \leq x \leq k$における関数①の最大値と最小値の和が5となるような$k$の値を求める。

最小値は$x = 2$のとき、$y = 0$

最大値は$x = 0$または$x = k$のとき。

$x = 0$のとき、$y = (0 - 2)^2 = 4$

$x = k$のとき、$y = (k - 2)^2$

場合分け:

(i) $0 \leq k < 2$のとき、最大値は$x=0$のとき$4$。したがって、最小値$0$と最大値$4$の和は$4$となり、5にならないので不適。

(ii) $k \geq 2$のとき、

もし$k$が$0$より十分に大きければ、最大値は$x=k$のとき$y = (k - 2)^2$であり、最小値$0$と最大値$(k - 2)^2$の和が$5$となるので、

$(k - 2)^2 = 5$

$k - 2 = \pm\sqrt{5}$

$k = 2 \pm\sqrt{5}$

$k \geq 2$より、$k = 2 + \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $b = 7 - 4a$, 頂点の座標は$(a, -a^2 - 4a + 12)$

(2) $a = 2$

(3) $k = 2 + \sqrt{5}$