整数係数の3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ が有理数の解を持つならば、その解は整数であることを示す。ここで、$a$, $b$, $c$ は整数である。

1. 問題の内容

整数係数の3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ が有理数の解を持つならば、その解は整数であることを示す。ここで、$a$, $b$, $c$ は整数である。

2. 解き方の手順

有理数の解を $x = \frac{p}{q}$ とおく。ここで、$p$ と $q$ は互いに素な整数で、$q \neq 0$ である。この解を3次方程式に代入すると、

$(\frac{p}{q})^3 + a(\frac{p}{q})^2 + b(\frac{p}{q}) + c = 0$

両辺に $q^3$ を掛けると、

$p^3 + ap^2q + bpq^2 + cq^3 = 0$

この式を変形して、$p^3$ について解くと、

$p^3 = -ap^2q - bpq^2 - cq^3 = q(-ap^2 - bpq - cq^2)$

この式から、$p^3$ は $q$ で割り切れることがわかる。

もし $q=1$ ならば、解 $x = \frac{p}{q} = \frac{p}{1} = p$ は整数である。

次に、$q \neq 1$ の場合を考える。$p$ と $q$ は互いに素であるから、$p^3$ と $q$ も互いに素である。

なぜなら、もし $p^3$ と $q$ が共通の素因数を持つならば、$p$ と $q$ もその素因数を共有することになり、$p$ と $q$ が互いに素であるという仮定に矛盾するからである。

しかし、$p^3 = q(-ap^2 - bpq - cq^2)$ であり、$q$ は $-ap^2 - bpq - cq^2$ を掛けることで $p^3$ となるため、$p^3$ は $q$ で割り切れる。

これは、$p^3$ と $q$ が互いに素であることと矛盾する。

したがって、$q=1$ でなければならない。

3. 最終的な答え

整数係数の3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ が有理数の解を持つならば、その解は整数である。