等式 $2x^2 + 3x + 7 = a(x+1)^2 - b(x-2) + c$ が $x$ についての恒等式であるとき、定数 $a, b, c$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

等式 $2x^2 + 3x + 7 = a(x+1)^2 - b(x-2) + c$ が $x$ についての恒等式であるとき、定数 $a, b, c$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

恒等式なので、左辺と右辺の係数が一致します。まず、右辺を展開します。

$a(x+1)^2 - b(x-2) + c = a(x^2 + 2x + 1) - b(x-2) + c = ax^2 + 2ax + a - bx + 2b + c = ax^2 + (2a - b)x + (a + 2b + c)$

したがって、

$2x^2 + 3x + 7 = ax^2 + (2a - b)x + (a + 2b + c)$

係数を比較すると、

$a = 2$

$2a - b = 3$

$a + 2b + c = 7$

$a = 2$ を $2a - b = 3$ に代入すると、

$2(2) - b = 3$

$4 - b = 3$

$b = 1$

$a = 2$ と $b = 1$ を $a + 2b + c = 7$ に代入すると、

$2 + 2(1) + c = 7$

$2 + 2 + c = 7$

$4 + c = 7$

$c = 3$

したがって、$a = 2, b = 1, c = 3$ です。

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = 1$

$c = 3$