与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}$ を対角化し、その結果を用いて $A^n$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}$ を対角化し、その結果を用いて $A^n$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、行列Aの固有値を求めます。

固有方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解きます。

$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 & 1 \\ 0 & 2-\lambda & 0 \\ 0 & -1 & 3-\lambda \end{pmatrix}$

$|A - \lambda I| = (1-\lambda)(2-\lambda)(3-\lambda) = 0$

よって、固有値は $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 2$, $\lambda_3 = 3$ です。

次に、各固有値に対応する固有ベクトルを求めます。

(1) $\lambda_1 = 1$ の場合:

$(A - I)v_1 = 0$

$\begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$2y + z = 0$

$y = 0$

したがって、$z = 0$ であり、$x$ は任意です。

固有ベクトル $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ とします。

(2) $\lambda_2 = 2$ の場合:

$(A - 2I)v_2 = 0$

$\begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-x + 2y + z = 0$

$-y + z = 0$

$z = y$

$-x + 2y + y = 0$

$x = 3y$

固有ベクトル $v_2 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ とします。

(3) $\lambda_3 = 3$ の場合:

$(A - 3I)v_3 = 0$

$\begin{pmatrix} -2 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-2x + 2y + z = 0$

$-y = 0$

$y = 0$

$-2x + z = 0$

$z = 2x$

固有ベクトル $v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$ とします。

固有ベクトルを並べてできる行列 $P$ は $P = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ です。

$P^{-1}$ を求めます。

$P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 1/2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 1/2 \end{pmatrix}$

$D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

$A^n = PD^nP^{-1}$

$D^n = \begin{pmatrix} 1^n & 0 & 0 \\ 0 & 2^n & 0 \\ 0 & 0 & 3^n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2^n & 0 \\ 0 & 0 & 3^n \end{pmatrix}$

$A^n = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2^n & 0 \\ 0 & 0 & 3^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1/2 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 3(2^n) & 3^n \\ 0 & 2^n & 0 \\ 0 & 2^n & 2(3^n) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -3 & 1/2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1/2 \end{pmatrix}$

$A^n = \begin{pmatrix} 1 & -3 + 3(2^n) - 3^n & 1/2 + 3^n \\ 0 & 2^n & 0 \\ 0 & 2^n - 2(3^n) & 3^n \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^n = \begin{pmatrix} 1 & -3 + 3 \cdot 2^n - 3^n & 1 - 3 \cdot 2^{n-1} + 3^{n-1} \\ 0 & 2^n & 0 \\ 0 & 2^n - 2 \cdot 3^n & 3^n \end{pmatrix}$

$A^n = \begin{pmatrix} 1 & -3 + 3 \cdot 2^n - 3^n & \frac{1}{2} - \frac{3 \cdot 2^n}{2} + \frac{3^n}{2} \\ 0 & 2^n & 0 \\ 0 & 2^n - 2 \cdot 3^n & 3^n \end{pmatrix}$

$A^n = \begin{pmatrix} 1 & 3(2^n-1)-3^n & \frac{1+3^n-3\cdot2^n}{2}\\ 0 & 2^n & 0 \\ 0 & 2^n-2(3^n) & 3^n \end{pmatrix}$