3つの直線 $2x+5y-3=0$, $3x-2y+1=0$, $x-ay+1=0$ が1点で交わるように定数 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

3つの直線 $2x+5y-3=0$, $3x-2y+1=0$, $x-ay+1=0$ が1点で交わるように定数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、最初の2つの直線 $2x+5y-3=0$ と $3x-2y+1=0$ の交点を求めます。

連立方程式

$2x+5y-3=0$

$3x-2y+1=0$

を解きます。1つ目の式を3倍、2つ目の式を2倍すると

$6x+15y-9=0$

$6x-4y+2=0$

となります。上の式から下の式を引くと

$19y - 11 = 0$

となり、$y = \frac{11}{19}$ が得られます。

これを $2x+5y-3=0$ に代入すると

$2x + 5(\frac{11}{19}) - 3 = 0$

$2x + \frac{55}{19} - \frac{57}{19} = 0$

$2x - \frac{2}{19} = 0$

$2x = \frac{2}{19}$

$x = \frac{1}{19}$

したがって、最初の2つの直線の交点は $(\frac{1}{19}, \frac{11}{19})$ です。

3つの直線が1点で交わるので、この交点は3つ目の直線 $x-ay+1=0$ 上にもあります。

したがって、$(\frac{1}{19}, \frac{11}{19})$ を $x-ay+1=0$ に代入すると

$\frac{1}{19} - a(\frac{11}{19}) + 1 = 0$

$\frac{1}{19} - \frac{11a}{19} + \frac{19}{19} = 0$

$1 - 11a + 19 = 0$

$20 - 11a = 0$

$11a = 20$

$a = \frac{20}{11}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{20}{11}$