$k$を定数とする。$xy$平面上の直線 $(k+3)x - (k+4)y = 2k + 4$ は、$k$の値に関係なく定点$P$を通る。この定点$P$の座標を求めよ。

1. 問題の内容

$k$を定数とする。$xy$平面上の直線 $(k+3)x - (k+4)y = 2k + 4$ は、$k$の値に関係なく定点$P$を通る。この定点$P$の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた直線の方程式は

$(k+3)x - (k+4)y = 2k + 4$

である。この式を$k$について整理すると、

$kx + 3x - ky - 4y = 2k + 4$

$k(x-y-2) + (3x-4y-4) = 0$

となる。これが任意の$k$について成り立つためには、

$x-y-2 = 0$

$3x-4y-4 = 0$

の二つの式が同時に成り立たなければならない。

$x-y-2=0$より、$x=y+2$である。

これを$3x-4y-4=0$に代入すると、

$3(y+2)-4y-4=0$

$3y+6-4y-4=0$

$-y+2=0$

$y=2$

したがって、$x=y+2=2+2=4$である。

よって、定点$P$の座標は$(4,2)$である。

3. 最終的な答え

(4, 2)