$\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 + 2x} + x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 + 2x} + x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$x \to -\infty$ のときの極限を求めるため、$\sqrt{x^2+2x}+x$ を変形します。

まず、$\sqrt{x^2+2x}-x$をかけます。

$\sqrt{x^2 + 2x} + x = \frac{(\sqrt{x^2 + 2x} + x)(\sqrt{x^2 + 2x} - x)}{\sqrt{x^2 + 2x} - x} = \frac{(x^2 + 2x) - x^2}{\sqrt{x^2 + 2x} - x} = \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 2x} - x}$

ここで、$\sqrt{x^2} = |x|$ であり、$x \to -\infty$ のとき、$x < 0$ なので $|x| = -x$ となります。

$x^2$ をルートの外に出すために、分母分子を$x$で割ります。

$x < 0$なので、$x = -\sqrt{x^2}$となります。

$\frac{2x}{\sqrt{x^2 + 2x} - x} = \frac{2x}{\sqrt{x^2(1 + \frac{2}{x})} - x} = \frac{2x}{|x|\sqrt{1 + \frac{2}{x}} - x} = \frac{2x}{-x\sqrt{1 + \frac{2}{x}} - x} = \frac{2}{-\sqrt{1 + \frac{2}{x}} - 1}$

$x \to -\infty$ のとき、$\frac{2}{x} \to 0$ となるので、

$\lim_{x \to -\infty} \frac{2}{-\sqrt{1 + \frac{2}{x}} - 1} = \frac{2}{-\sqrt{1 + 0} - 1} = \frac{2}{-1 - 1} = \frac{2}{-2} = -1$

3. 最終的な答え

-1