(1) 自然数 $n$ に対して、定積分 $\int_{(n-1)\pi}^{n\pi} e^{-x}|\sin x| dx$ を計算する。 (2) 極限 $\lim_{n \to \infty} \int_0^{n\pi} e^{-x} |\sin x| dx$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 自然数 $n$ に対して、定積分 $\int_{(n-1)\pi}^{n\pi} e^{-x}|\sin x| dx$ を計算する。

(2) 極限 $\lim_{n \to \infty} \int_0^{n\pi} e^{-x} |\sin x| dx$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$I_n = \int_{(n-1)\pi}^{n\pi} e^{-x} |\sin x| dx$を計算する。

$x = t + (n-1)\pi$ と変数変換すると、$dx = dt$ であり、積分範囲は$0$から$\pi$に変わる。

$|\sin(t + (n-1)\pi)| = |\sin t \cos(n-1)\pi + \cos t \sin(n-1)\pi| = |\sin t \cos(n-1)\pi| = |\sin t| |\cos(n-1)\pi| = |\sin t| |(-1)^{n-1}| = |\sin t| = \sin t$ （$0 \le t \le \pi$ では $\sin t \ge 0$ より）。

よって、

$I_n = \int_0^\pi e^{-(t+(n-1)\pi)} \sin t dt = e^{-(n-1)\pi} \int_0^\pi e^{-t} \sin t dt$

ここで、$I = \int_0^\pi e^{-t} \sin t dt$ を計算する。部分積分を2回行う。

$I = \int_0^\pi e^{-t} \sin t dt = [-e^{-t}\sin t]_0^\pi + \int_0^\pi e^{-t} \cos t dt = 0 + \int_0^\pi e^{-t} \cos t dt = \int_0^\pi e^{-t} \cos t dt = [-e^{-t}\cos t]_0^\pi - \int_0^\pi e^{-t} (-\sin t) dt = [-e^{-t}\cos t]_0^\pi + \int_0^\pi e^{-t} \sin t dt = [-e^{-\pi}(-1) - (-e^0(1))] + \int_0^\pi e^{-t} \sin t dt = e^{-\pi} + 1 + I$

従って、

$I = e^{-\pi} + 1 - I$ より、$2I = 1 + e^{-\pi}$ となり、$I = \frac{1+e^{-\pi}}{2}$

よって、

$I_n = e^{-(n-1)\pi} \left( \frac{1+e^{-\pi}}{2} \right)$

(2)

$S_n = \int_0^{n\pi} e^{-x} |\sin x| dx = \sum_{k=1}^n \int_{(k-1)\pi}^{k\pi} e^{-x} |\sin x| dx = \sum_{k=1}^n I_k = \sum_{k=1}^n e^{-(k-1)\pi} \frac{1+e^{-\pi}}{2} = \frac{1+e^{-\pi}}{2} \sum_{k=1}^n (e^{-\pi})^{k-1}$

$\sum_{k=1}^n (e^{-\pi})^{k-1}$ は初項1、公比$e^{-\pi}$ の等比数列の和なので、

$\sum_{k=1}^n (e^{-\pi})^{k-1} = \frac{1 - (e^{-\pi})^n}{1 - e^{-\pi}}$

したがって、

$S_n = \frac{1+e^{-\pi}}{2} \frac{1 - e^{-n\pi}}{1 - e^{-\pi}} = \frac{1+e^{-\pi}}{2(1-e^{-\pi})} (1 - e^{-n\pi})$

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1+e^{-\pi}}{2(1-e^{-\pi})} (1 - e^{-n\pi})$

$\lim_{n \to \infty} e^{-n\pi} = 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{1+e^{-\pi}}{2(1-e^{-\pi})} (1 - 0) = \frac{1+e^{-\pi}}{2(1-e^{-\pi})} = \frac{1+e^{-\pi}}{2(1-e^{-\pi})} \frac{e^\pi}{e^\pi} = \frac{e^\pi + 1}{2(e^\pi - 1)}$

3. 最終的な答え

(1) $\int_{(n-1)\pi}^{n\pi} e^{-x}|\sin x| dx = e^{-(n-1)\pi} \frac{1+e^{-\pi}}{2}$

(2) $\lim_{n \to \infty} \int_0^{n\pi} e^{-x} |\sin x| dx = \frac{e^\pi + 1}{2(e^\pi - 1)}$