重積分 $I = \iint_E (x+y)dxdy$ を計算する問題です。ここで、$E = \{(x, y) \mid 0 \le x+2y \le 1, 0 \le -x+3y \le 1\}$ であり、$E$はxy平面上の平行四辺形です。 (1) $(xy)$ 平面の領域 $E$ を絵に描きます。 (2) $(uv)$ 平面の領域 $D = \{0 \le u \le 1, 0 \le v \le 1\}$ を $(xy)$ 平面の領域 $E$ に持っていくような二変数の一次式による変数変換 $x = \phi(u, v)$, $y = \psi(u, v)$ を求めます。ここで、二変数の一次式による変数変換とは、$x = au + bv, y = cu + dv$ の形の変数変換のことです。 (3) 公式を利用して重積分 $I$ の値を求めます。

1. 問題の内容

重積分 $I = \iint_E (x+y)dxdy$ を計算する問題です。ここで、$E = \{(x, y) \mid 0 \le x+2y \le 1, 0 \le -x+3y \le 1\}$ であり、$E$はxy平面上の平行四辺形です。

(1) $(xy)$ 平面の領域 $E$ を絵に描きます。

(2) $(uv)$ 平面の領域 $D = \{0 \le u \le 1, 0 \le v \le 1\}$ を $(xy)$ 平面の領域 $E$ に持っていくような二変数の一次式による変数変換 $x = \phi(u, v)$, $y = \psi(u, v)$ を求めます。ここで、二変数の一次式による変数変換とは、$x = au + bv, y = cu + dv$ の形の変数変換のことです。

(3) 公式を利用して重積分 $I$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 領域 $E$ は、不等式 $0 \le x+2y \le 1$ と $0 \le -x+3y \le 1$ で囲まれた平行四辺形です。この不等式を満たす領域を図示します。

(2) $u = x+2y$ および $v = -x+3y$ とおくと、$0 \le u \le 1$ および $0 \le v \le 1$ となります。

$x$ と $y$ を $u$ と $v$ で表すと、次のようになります。

$u = x+2y$

$v = -x+3y$

2式を足すと、

$u+v = 5y$

$y = \frac{1}{5}(u+v)$

$x = u-2y = u-\frac{2}{5}(u+v) = \frac{3}{5}u - \frac{2}{5}v$

したがって、

$x = \frac{3}{5}u - \frac{2}{5}v$

$y = \frac{1}{5}u + \frac{1}{5}v$

(3) 変数変換のヤコビアンを計算します。

$J = \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{3}{5} & -\frac{2}{5} \\ \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \end{vmatrix} = \frac{3}{25} + \frac{2}{25} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$

したがって、$|J| = \frac{1}{5}$

$x+y = (\frac{3}{5}u - \frac{2}{5}v) + (\frac{1}{5}u + \frac{1}{5}v) = \frac{4}{5}u - \frac{1}{5}v$

$I = \iint_E (x+y)dxdy = \iint_D (\frac{4}{5}u - \frac{1}{5}v)|J|dudv = \int_0^1 \int_0^1 (\frac{4}{5}u - \frac{1}{5}v)\frac{1}{5}dudv = \frac{1}{25} \int_0^1 \int_0^1 (4u - v)dudv$

$I = \frac{1}{25} \int_0^1 [2u^2 - vu]_0^1 dv = \frac{1}{25} \int_0^1 (2-v)dv = \frac{1}{25} [2v - \frac{1}{2}v^2]_0^1 = \frac{1}{25}(2-\frac{1}{2}) = \frac{1}{25} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{50}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{50}$