曲線 $y^2 = x^2(1-x)$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。

1. 問題の内容

曲線 $y^2 = x^2(1-x)$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた曲線の方程式を $y$ について解くと、

$y = \pm x\sqrt{1-x}$

となります。

この曲線は $x$ 軸に関して対称であり、$x=0$ と $x=1$ で $x$ 軸と交わります。

また、$0 \le x \le 1$ で定義されます。

面積 $S$ は、曲線の上半分 $y = x\sqrt{1-x}$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積の2倍で与えられます。

したがって、

$S = 2 \int_{0}^{1} x\sqrt{1-x} \, dx$

となります。

ここで、$1-x = t^2$ とおくと、$x = 1 - t^2$、$dx = -2t \, dt$ となります。

$x=0$ のとき $t=1$、$x=1$ のとき $t=0$ となるので、積分の範囲は $1$ から $0$ に変わります。

したがって、

$S = 2 \int_{1}^{0} (1-t^2)\sqrt{t^2} (-2t) \, dt = 2 \int_{1}^{0} (1-t^2)t (-2t) \, dt = 4 \int_{1}^{0} (t^4 - t^2) \, dt$

積分範囲を反転させると、

$S = 4 \int_{0}^{1} (t^2 - t^4) \, dt$

となります。

積分を実行すると、

$S = 4 \left[ \frac{t^3}{3} - \frac{t^5}{5} \right]_{0}^{1} = 4 \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) = 4 \left( \frac{5-3}{15} \right) = 4 \left( \frac{2}{15} \right) = \frac{8}{15}$

となります。

3. 最終的な答え

$S = \frac{8}{15}$