SENSEI AI
About App

与えられた二つの関数について、不定積分を求めます。 (1) $\tan^5 x$ (2) $\frac{1}{1 + \sin x}$

解析学不定積分三角関数積分
2025/6/26

1. 問題の内容

与えられた二つの関数について、不定積分を求めます。
(1) tan⁡5x\tan^5 x
(2) 11+sin⁡x\frac{1}{1 + \sin x}

2. 解き方の手順

(1) tan⁡5x\tan^5 x の不定積分
tan⁡5x=tan⁡3xtan⁡2x=tan⁡3x(sec⁡2x−1)=tan⁡3xsec⁡2x−tan⁡3x\tan^5 x = \tan^3 x \tan^2 x = \tan^3 x (\sec^2 x - 1) = \tan^3 x \sec^2 x - \tan^3 x
ここで、I=∫tan⁡5xdxI = \int \tan^5 x dx とすると、
I=∫tan⁡3xsec⁡2xdx−∫tan⁡3xdxI = \int \tan^3 x \sec^2 x dx - \int \tan^3 x dx
tan⁡x=t\tan x = t とおくと、dtdx=sec⁡2x\frac{dt}{dx} = \sec^2 x より dx=dtsec⁡2xdx = \frac{dt}{\sec^2 x} となるので、∫tan⁡3xsec⁡2xdx=∫t3dt=t44=tan⁡4x4\int \tan^3 x \sec^2 x dx = \int t^3 dt = \frac{t^4}{4} = \frac{\tan^4 x}{4}
次に、tan⁡3x=tan⁡xtan⁡2x=tan⁡x(sec⁡2x−1)=tan⁡xsec⁡2x−tan⁡x\tan^3 x = \tan x \tan^2 x = \tan x (\sec^2 x - 1) = \tan x \sec^2 x - \tan x より、
∫tan⁡3xdx=∫tan⁡xsec⁡2xdx−∫tan⁡xdx\int \tan^3 x dx = \int \tan x \sec^2 x dx - \int \tan x dx
tan⁡x=t\tan x = t とおくと、dtdx=sec⁡2x\frac{dt}{dx} = \sec^2 x より dx=dtsec⁡2xdx = \frac{dt}{\sec^2 x} となるので、∫tan⁡xsec⁡2xdx=∫tdt=t22=tan⁡2x2\int \tan x \sec^2 x dx = \int t dt = \frac{t^2}{2} = \frac{\tan^2 x}{2}
また、∫tan⁡xdx=∫sin⁡xcos⁡xdx\int \tan x dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx であり、cos⁡x=u\cos x = u とおくと、dudx=−sin⁡x\frac{du}{dx} = -\sin x より dx=−dusin⁡xdx = -\frac{du}{\sin x} となるので、∫sin⁡xcos⁡xdx=∫sin⁡xu(−dusin⁡x)=−∫1udu=−ln⁡∣u∣=−ln⁡∣cos⁡x∣=ln⁡∣sec⁡x∣\int \frac{\sin x}{\cos x} dx = \int \frac{\sin x}{u} (-\frac{du}{\sin x}) = -\int \frac{1}{u} du = -\ln |u| = -\ln |\cos x| = \ln |\sec x|
よって、I=tan⁡4x4−(tan⁡2x2−ln⁡∣sec⁡x∣)=tan⁡4x4−tan⁡2x2+ln⁡∣sec⁡x∣+CI = \frac{\tan^4 x}{4} - (\frac{\tan^2 x}{2} - \ln |\sec x|) = \frac{\tan^4 x}{4} - \frac{\tan^2 x}{2} + \ln |\sec x| + C
(2) 11+sin⁡x\frac{1}{1 + \sin x} の不定積分
11+sin⁡x=1−sin⁡x(1+sin⁡x)(1−sin⁡x)=1−sin⁡x1−sin⁡2x=1−sin⁡xcos⁡2x=1cos⁡2x−sin⁡xcos⁡2x=sec⁡2x−sin⁡xcos⁡2x\frac{1}{1 + \sin x} = \frac{1 - \sin x}{(1 + \sin x)(1 - \sin x)} = \frac{1 - \sin x}{1 - \sin^2 x} = \frac{1 - \sin x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \sec^2 x - \frac{\sin x}{\cos^2 x}
∫sec⁡2xdx=tan⁡x\int \sec^2 x dx = \tan x
∫sin⁡xcos⁡2xdx\int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx について、cos⁡x=u\cos x = u とおくと、dudx=−sin⁡x\frac{du}{dx} = -\sin x より dx=−dusin⁡xdx = -\frac{du}{\sin x} となるので、∫sin⁡xcos⁡2xdx=∫sin⁡xu2(−dusin⁡x)=−∫1u2du=1u=1cos⁡x\int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx = \int \frac{\sin x}{u^2} (-\frac{du}{\sin x}) = -\int \frac{1}{u^2} du = \frac{1}{u} = \frac{1}{\cos x}
よって、∫11+sin⁡xdx=∫(sec⁡2x−sin⁡xcos⁡2x)dx=tan⁡x−1cos⁡x+C=tan⁡x−sec⁡x+C\int \frac{1}{1 + \sin x} dx = \int (\sec^2 x - \frac{\sin x}{\cos^2 x}) dx = \tan x - \frac{1}{\cos x} + C = \tan x - \sec x + C

3. 最終的な答え

(1) ∫tan⁡5xdx=tan⁡4x4−tan⁡2x2+ln⁡∣sec⁡x∣+C\int \tan^5 x dx = \frac{\tan^4 x}{4} - \frac{\tan^2 x}{2} + \ln |\sec x| + C
(2) ∫11+sin⁡xdx=tan⁡x−sec⁡x+C\int \frac{1}{1 + \sin x} dx = \tan x - \sec x + C

「解析学」の関連問題

問題は、次の級数の和を求めることです。 $\sum_{k=1}^{n} (-\frac{1}{3})^k$

級数等比数列シグマ
2025/6/26

関数 $y = x^x$ （ただし $x>0$） を $x$ で微分せよ。

微分対数微分法関数の微分
2025/6/26

$\int \frac{1}{x^2} dx$ を計算する。

積分定積分置換積分積分公式
2025/6/26

底面の直径が20cm、高さが40cmの円錐に毎秒2cm³の割合で水を注ぐとき、水の高さ$h$が上昇する速度$\frac{dh}{dt}$を$h$の式で表す。

微分円錐体積微分方程式相似
2025/6/26

$z = y^x$ について、以下の偏導関数を求める問題です。 1. $z_x$, $z_y$ を計算する。

偏微分偏導関数指数関数
2025/6/26

関数 $y = \frac{x^2 + 1}{e^x}$ を $x$ で微分せよ。

微分関数の微分商の微分公式指数関数
2025/6/26

関数 $y = \sin(x^2 + x)$ を $x$ で微分せよ。

微分合成関数の微分三角関数
2025/6/26

与えられた関数 $y = \sin(x^2 + x)$ を $x$ で微分せよ。

微分合成関数三角関数
2025/6/26

容積が2000 m$^3$の蓋つきの直円柱形の水槽を、最も少ない材料で作るには、円柱の半径 $x$ を何 m にすればよいか。

最適化微分体積表面積直円柱
2025/6/26

与えられた積分 $\int \frac{e^x}{(e^x + 2)^3} dx$ を計算します。ここで、$t = e^x + 2$ という変数変換が与えられています。

積分変数変換指数関数
2025/6/26