与えられた重積分 $I$ の値を求める問題です。 $I = \int_{0}^{1} \left( \int_{3y}^{3} \frac{dx}{(1+x^2)^3} \right) dy$

1. 問題の内容

与えられた重積分 $I$ の値を求める問題です。

$I = \int_{0}^{1} \left( \int_{3y}^{3} \frac{dx}{(1+x^2)^3} \right) dy$

2. 解き方の手順

まず、積分の順序を変更します。積分領域は $0 \le y \le 1$ かつ $3y \le x \le 3$ であり、これは $0 \le x \le 3$ かつ $0 \le y \le \frac{x}{3}$ と表すことができます。

したがって、積分は次のようになります。

$I = \int_{0}^{3} \left( \int_{0}^{\frac{x}{3}} \frac{dy}{(1+x^2)^3} \right) dx$

次に、内側の積分を計算します。

$\int_{0}^{\frac{x}{3}} \frac{dy}{(1+x^2)^3} = \frac{1}{(1+x^2)^3} \int_{0}^{\frac{x}{3}} dy = \frac{1}{(1+x^2)^3} \left[ y \right]_{0}^{\frac{x}{3}} = \frac{x}{3(1+x^2)^3}$

したがって、積分は次のようになります。

$I = \int_{0}^{3} \frac{x}{3(1+x^2)^3} dx$

ここで、$u = 1+x^2$ と置換すると、$du = 2x dx$ となり、$x dx = \frac{1}{2} du$ となります。

また、積分範囲は $x=0$ のとき $u=1$、$x=3$ のとき $u=10$ に変わります。

したがって、積分は次のようになります。

$I = \int_{1}^{10} \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^3} du = \frac{1}{6} \int_{1}^{10} u^{-3} du$

$I = \frac{1}{6} \left[ \frac{u^{-2}}{-2} \right]_{1}^{10} = \frac{1}{6} \left[ -\frac{1}{2u^2} \right]_{1}^{10} = \frac{1}{6} \left( -\frac{1}{200} + \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{6} \left( \frac{100-1}{200} \right) = \frac{1}{6} \left( \frac{99}{200} \right) = \frac{33}{400}$

3. 最終的な答え

$\frac{33}{400}$