(1) 放物線 $y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 2$ と $x$軸, $y$軸で囲まれた図形の面積 $S$ を求める。 (2) 放物線 $C: y = 2x^2 - 3x$ の接線のうち、傾きが5である接線を $l$ とする。放物線 $C$ と接線 $l$ の接点の $x$ 座標、接線 $l$ の方程式、放物線 $C$ と接線 $l$, および $y$ 軸で囲まれた図形の面積 $S$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 放物線 $y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 2$ と $x$軸, $y$軸で囲まれた図形の面積 $S$ を求める。

(2) 放物線 $C: y = 2x^2 - 3x$ の接線のうち、傾きが5である接線を $l$ とする。放物線 $C$ と接線 $l$ の接点の $x$ 座標、接線 $l$ の方程式、放物線 $C$ と接線 $l$, および $y$ 軸で囲まれた図形の面積 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、放物線 $y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 2$ と $x$軸との交点を求める。

$\frac{1}{2}x^2 - 2x + 2 = 0$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x-2)^2 = 0$

$x = 2$

よって、放物線は $x=2$ で $x$ 軸に接する。

次に、求める面積 $S$ は、放物線と $x$軸, $y$軸で囲まれた部分の面積なので、積分を用いて計算する。

$S = \int_0^2 (\frac{1}{2}x^2 - 2x + 2) dx$

$S = [\frac{1}{6}x^3 - x^2 + 2x]_0^2$

$S = (\frac{1}{6}(2)^3 - (2)^2 + 2(2)) - (\frac{1}{6}(0)^3 - (0)^2 + 2(0))$

$S = \frac{8}{6} - 4 + 4$

$S = \frac{4}{3}$

(2)

放物線 $C: y = 2x^2 - 3x$ の接線の傾きが5となる点を求める。

$y' = 4x - 3$

$4x - 3 = 5$

$4x = 8$

$x = 2$

よって、接点の $x$ 座標は 2 である。

接点の $y$ 座標は、 $y = 2(2)^2 - 3(2) = 8 - 6 = 2$

接点の座標は $(2, 2)$ である。

接線の方程式は、傾きが5で点 $(2, 2)$ を通るので、

$y - 2 = 5(x - 2)$

$y - 2 = 5x - 10$

$y = 5x - 8$

放物線 $y = 2x^2 - 3x$ と接線 $y = 5x - 8$ の交点は $x=2$ である。

放物線と接線、$y$軸で囲まれた面積は、$\int_0^2 ((5x-8) - (2x^2-3x)) dx$ で求められる。

$S = \int_0^2 (8x - 2x^2 - 8) dx$

$S = [4x^2 - \frac{2}{3}x^3 - 8x]_0^2$

$S = (4(2)^2 - \frac{2}{3}(2)^3 - 8(2)) - (0)$

$S = 16 - \frac{16}{3} - 16$

$S = -\frac{16}{3}$

面積は正であるため、$S = \frac{16}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $S = \frac{4}{3}$

(2) 接点の $x$ 座標: $2$

接線の方程式: $y = 5x - 8$

面積 $S = \frac{16}{3}$