周囲の長さが40cmで、縦が横よりも短く、面積が96cm²の長方形の2辺の長さを求める問題です。縦の長さを $x$ cmとしたとき、横の長さを表し、その情報から二次方程式を立てて、解を求めます。

1. 問題の内容

周囲の長さが40cmで、縦が横よりも短く、面積が96cm²の長方形の2辺の長さを求める問題です。縦の長さを $x$ cmとしたとき、横の長さを表し、その情報から二次方程式を立てて、解を求めます。

2. 解き方の手順

* 長方形の縦の長さを $x$ cmとします。

* 周囲の長さが40cmなので、縦と横の長さの合計は40cmの半分で20cmになります。

したがって、横の長さは$(20-x)$cmと表されます。

* 長方形の面積は縦×横なので、$x(20-x) = 96$となります。

* この方程式を展開し、整理します。

$20x - x^2 = 96$

$x^2 - 20x + 96 = 0$

* 二次方程式を解きます。

$(x-8)(x-12) = 0$

したがって、$x = 8$または$x = 12$となります。

* 問題文より、縦の長さは横の長さより短いので、$x < 20 - x$を満たす必要があります。

$x = 8$のとき、横の長さは$20-8 = 12$となり、条件を満たします。

$x = 12$のとき、横の長さは$20-12 = 8$となり、縦より横が短くなるため、条件を満たしません。

3. 最終的な答え

縦の長さは8cm、横の長さは12cmとなります。