不等式 $x^2 + y^2 \geq 4(x+y-2)$ を証明し、等号が成り立つ場合を調べる。

## (2) の問題

1. 問題の内容

不等式 $x^2 + y^2 \geq 4(x+y-2)$ を証明し、等号が成り立つ場合を調べる。

2. 解き方の手順

与えられた不等式を変形していく。

$x^2 + y^2 \geq 4(x+y-2)$

$x^2 + y^2 \geq 4x + 4y - 8$

$x^2 - 4x + y^2 - 4y + 8 \geq 0$

平方完成を行う。

$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 4y + 4) \geq 0$

$(x-2)^2 + (y-2)^2 \geq 0$

実数の二乗は常に0以上なので、この不等式は常に成り立つ。

等号が成り立つのは、$x-2 = 0$ かつ $y-2 = 0$ のとき、つまり $x=2$ かつ $y=2$ のとき。

3. 最終的な答え

不等式 $x^2 + y^2 \geq 4(x+y-2)$ は成り立つ。

等号が成り立つのは $x=2$ かつ $y=2$ のとき。

## (3) の問題

1. 問題の内容

$A \geq 0, B \geq 0, A^2 \geq B^2$ ならば $A \geq B$ となることを証明する。

2. 解き方の手順

$A^2 \geq B^2$ を移項すると、$A^2 - B^2 \geq 0$ となる。

これを因数分解すると、$(A-B)(A+B) \geq 0$ となる。

ここで、$A \geq 0$ かつ $B \geq 0$ より、$A+B \geq 0$ である。

したがって、$A-B \geq 0$ でなければならない。

なぜなら、$A+B \geq 0$ であり、$(A-B)(A+B) \geq 0$ であるためには、$A-B$ も0以上でなければならないからである。

$A-B \geq 0$ より、$A \geq B$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$A \geq 0, B \geq 0, A^2 \geq B^2$ ならば $A \geq B$ が成り立つ。

## (4) の問題

1. 問題の内容

$x, y$ を実数とするとき、不等式 $|x+y| \leq |x| + |y|$ を証明し、等号が成り立つ場合を調べる。

2. 解き方の手順

ヒントに従い、両辺の2乗の差を考える。

$(|x| + |y|)^2 - |x+y|^2 = (|x|^2 + 2|x||y| + |y|^2) - (x+y)^2$

$= x^2 + 2|xy| + y^2 - (x^2 + 2xy + y^2)$

$= x^2 + 2|xy| + y^2 - x^2 - 2xy - y^2$

$= 2|xy| - 2xy$

$= 2(|xy| - xy)$

$|xy|$ は $xy$ の絶対値なので、$|xy| \geq xy$ が常に成り立つ。

したがって、$2(|xy| - xy) \geq 0$ となる。

よって、$(|x| + |y|)^2 - |x+y|^2 \geq 0$ である。

$|x+y| \geq 0$ かつ $|x| + |y| \geq 0$ であるから、(3) の結果より、

$|x| + |y| \geq |x+y|$ が成り立つ。

等号が成り立つのは、$|xy| = xy$ のとき、つまり $xy \geq 0$ のときである。

3. 最終的な答え

不等式 $|x+y| \leq |x| + |y|$ は成り立つ。

等号が成り立つのは $xy \geq 0$ のとき。

言い換えると、$x$ と $y$ が同符号またはどちらかが0のとき。