$y$軸と直線 $y = -1$ を漸近線とし、点 $(1, 2)$ を通る双曲線をグラフとする関数を $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ の形で表す問題です。

1. 問題の内容

$y$軸と直線 $y = -1$ を漸近線とし、点 $(1, 2)$ を通る双曲線をグラフとする関数を $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ の形で表す問題です。

2. 解き方の手順

漸近線が $y$軸、つまり $x = 0$であることから、$cx+d=0$ が $x=0$ で成立します。したがって $d = 0$。

関数は $y = \frac{ax+b}{cx}$ と表せます。

漸近線が $y = -1$であることから、

$$\lim_{x \to \infty} \frac{ax+b}{cx} = \frac{a}{c} = -1$$

したがって、$a = -c$。関数は $y = \frac{-cx+b}{cx}$ と表せます。

さらに、点 $(1, 2)$ を通ることから、

$$2 = \frac{-c(1) + b}{c(1)}$$

$$2c = -c + b$$

$$3c = b$$

したがって、$b = 3c$。関数は $y = \frac{-cx+3c}{cx}$ と表せます。

$c \neq 0$なので、$c$で割ると

$$y = \frac{-x+3}{x}$$

3. 最終的な答え

$y = \frac{-x+3}{x}$