(1) $a>0$, $b>0$ のとき、不等式 $ax \le -2x + 3 \le bx + 2$ の解が $\frac{1}{10} \le x \le \frac{1}{5}$ であるとき、$a$, $b$ の値を求める。 (2) $a$ を実数の定数とする。不等式 $5x + 3 \ge x + a$ ... (1), $x - 2 \ge 3x - a$ ... (2) について、(1) を満たす $x$ のうち、最小の整数が $2$ である $a$ の値の範囲と、さらに (1), (2) を同時に満たす $x$ のうち、整数が $2$ だけである $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

(1) $a>0$, $b>0$ のとき、不等式 $ax \le -2x + 3 \le bx + 2$ の解が $\frac{1}{10} \le x \le \frac{1}{5}$ であるとき、$a$, $b$ の値を求める。

(2) $a$ を実数の定数とする。不等式 $5x + 3 \ge x + a$ ... (1), $x - 2 \ge 3x - a$ ... (2) について、(1) を満たす $x$ のうち、最小の整数が $2$ である $a$ の値の範囲と、さらに (1), (2) を同時に満たす $x$ のうち、整数が $2$ だけである $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$ax \le -2x + 3 \le bx + 2$ を $ax \le -2x + 3$ かつ $-2x + 3 \le bx + 2$ と分解する。

$ax \le -2x + 3$ より $(a+2)x \le 3$。

$a > 0$ より $a+2 > 0$ なので、$x \le \frac{3}{a+2}$。

$-2x + 3 \le bx + 2$ より $1 \le (b+2)x$。

$b > 0$ より $b+2 > 0$ なので、$x \ge \frac{1}{b+2}$。

したがって、$\frac{1}{b+2} \le x \le \frac{3}{a+2}$。

解が $\frac{1}{10} \le x \le \frac{1}{5}$ であるから、

$\frac{1}{b+2} = \frac{1}{10}$ かつ $\frac{3}{a+2} = \frac{1}{5}$。

$b+2 = 10$ より $b = 8$。

$a+2 = 15$ より $a = 13$。

(2)

(1) $5x+3 \ge x+a$ を変形すると、$4x \ge a - 3$。

よって、$x \ge \frac{a-3}{4}$。

これを満たす最小の整数が $2$ であるから、

$1 < \frac{a-3}{4} \le 2$。

$4 < a - 3 \le 8$ より、$7 < a \le 11$。

(2) $x - 2 \ge 3x - a$ を変形すると、$2x \le a - 2$。

よって、$x \le \frac{a-2}{2}$。

(1) と (2) を同時に満たす $x$ は、

$\frac{a-3}{4} \le x \le \frac{a-2}{2}$。

この範囲に整数が $2$ のみであるから、

$1 < \frac{a-3}{4} \le 2$ かつ $2 \le \frac{a-2}{2} < 3$。

$7 < a \le 11$ かつ $6 \le a < 8$。

よって、$7 < a < 8$。

3. 最終的な答え

(1) $a = 13$, $b = 8$

(2) $7 < a \le 11$, $7 < a < 8$