不等式 $\frac{1}{x-1} < x-1$ を解きます。

1. 問題の内容

不等式 $\frac{1}{x-1} < x-1$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、$x-1$ が 0 でないこと、つまり $x \ne 1$ であることに注意します。不等式の両辺に $(x-1)^2$ を掛けると、$(x-1)^2$ は常に正なので、不等号の向きは変わりません。

$\frac{1}{x-1} < x-1$

$\frac{1}{x-1} (x-1)^2 < (x-1)(x-1)^2$

$x-1 < (x-1)^3$

$x-1 < x^3 - 3x^2 + 3x - 1$

$0 < x^3 - 3x^2 + 2x$

$0 < x(x^2 - 3x + 2)$

$0 < x(x-1)(x-2)$

$f(x) = x(x-1)(x-2)$ とおくと、$f(x) > 0$ となる $x$ の範囲を求めることになります。

$x(x-1)(x-2) = 0$ となるのは、$x=0, 1, 2$ のときです。これらの値を境にして、$f(x)$ の符号を調べます。

- $x < 0$ のとき、$x<0, x-1<0, x-2<0$ なので、$f(x) < 0$

- $0 < x < 1$ のとき、$x>0, x-1<0, x-2<0$ なので、$f(x) > 0$

- $1 < x < 2$ のとき、$x>0, x-1>0, x-2<0$ なので、$f(x) < 0$

- $x > 2$ のとき、$x>0, x-1>0, x-2>0$ なので、$f(x) > 0$

したがって、$x(x-1)(x-2) > 0$ となるのは、$0 < x < 1$ または $x > 2$ のときです。

3. 最終的な答え

$0 < x < 1$ または $x > 2$