関数 $f(x) = x^2 + 2$ ($x \ge 0$) と $g(x) = \sqrt{x-2}$ ($x \ge 2$) が与えられています。合成関数 $(f \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ をそれぞれ求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 + 2$ ($x \ge 0$) と $g(x) = \sqrt{x-2}$ ($x \ge 2$) が与えられています。合成関数 $(f \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ をそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$(f \circ f)(x)$ を求めます。これは $f(f(x))$ を意味するので、$f(x)$ の $x$ に $f(x)$ を代入します。

$f(x) = x^2 + 2$ なので、

$f(f(x)) = f(x^2+2) = (x^2+2)^2 + 2$

$(x^2+2)^2 = x^4 + 4x^2 + 4$ なので、

$f(f(x)) = x^4 + 4x^2 + 4 + 2 = x^4 + 4x^2 + 6$

$x \ge 0$ のとき、$f(x) \ge 2$ なので、$x \ge 0$ という条件は満たされています。

次に、$(f \circ g)(x)$ を求めます。これは $f(g(x))$ を意味するので、$f(x)$ の $x$ に $g(x)$ を代入します。

$f(x) = x^2 + 2$ なので、

$f(g(x)) = f(\sqrt{x-2}) = (\sqrt{x-2})^2 + 2$

$(\sqrt{x-2})^2 = x-2$ なので、

$f(g(x)) = x - 2 + 2 = x$

$x \ge 2$ のとき、$g(x) = \sqrt{x-2} \ge 0$ なので、$g(x) \ge 0$ という条件は満たされています。

3. 最終的な答え

$(f \circ f)(x) = x^4 + 4x^2 + 6$

$(f \circ g)(x) = x$