実数を係数とする2次方程式 $x^2 - 2(k+1)x + 2(k^2 + 3k - 10) = 0$ が、次の条件を満たすときの定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。 (1) 正の解と負の解をもつ。 (2) 異なる2つの正の解をもつ。 (3) すべての解が $-2$ より小さい。

1. 問題の内容

実数を係数とする2次方程式 $x^2 - 2(k+1)x + 2(k^2 + 3k - 10) = 0$ が、次の条件を満たすときの定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

(1) 正の解と負の解をもつ。

(2) 異なる2つの正の解をもつ。

(3) すべての解が $-2$ より小さい。

2. 解き方の手順

与えられた2次方程式を $f(x) = x^2 - 2(k+1)x + 2(k^2 + 3k - 10)$ とします。

(1) 正の解と負の解をもつ場合：

正の解と負の解を持つためには、$f(0) < 0$ である必要があります。

$f(0) = 2(k^2 + 3k - 10) < 0$

$k^2 + 3k - 10 < 0$

$(k+5)(k-2) < 0$

$-5 < k < 2$

(2) 異なる2つの正の解をもつ場合：

判別式 $D > 0$, 軸 $> 0$, $f(0) > 0$ の3つの条件が必要です。

$D = (-2(k+1))^2 - 4(2(k^2 + 3k - 10)) = 4(k+1)^2 - 8(k^2 + 3k - 10) = 4(k^2 + 2k + 1) - 8k^2 - 24k + 80 = -4k^2 - 16k + 84 > 0$

$k^2 + 4k - 21 < 0$

$(k+7)(k-3) < 0$

$-7 < k < 3$

軸: $x = \frac{-(-2(k+1))}{2} = k+1 > 0$ より $k > -1$

$f(0) = 2(k^2 + 3k - 10) > 0$

$k^2 + 3k - 10 > 0$

$(k+5)(k-2) > 0$

$k < -5$ または $k > 2$

3つの条件をすべて満たす範囲は、$2 < k < 3$

(3) すべての解が $-2$ より小さい場合：

判別式 $D \geq 0$, 軸 $<-2$, $f(-2) > 0$ の3つの条件が必要です。

$D \geq 0$ より $(k+7)(k-3) \leq 0$ なので $-7 \leq k \leq 3$

軸: $k+1 < -2$ より $k < -3$

$f(-2) = (-2)^2 - 2(k+1)(-2) + 2(k^2 + 3k - 10) = 4 + 4(k+1) + 2k^2 + 6k - 20 = 2k^2 + 10k - 12 > 0$

$k^2 + 5k - 6 > 0$

$(k+6)(k-1) > 0$

$k < -6$ または $k > 1$

3つの条件をすべて満たす範囲は、$-7 \leq k < -6$

3. 最終的な答え

(1) $-5 < k < 2$

(2) $2 < k < 3$

(3) $-7 \leq k < -6$