2次関数 $f(x) = x^2 - 4ax + 8a$ が与えられている。ただし、$a$ は正の定数とする。 (1) $a = \frac{1}{2}$ のとき、$y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を求めよ。 (2) $f(x)$ の最小値が -4 であるときの $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 4ax + 8a$ が与えられている。ただし、$a$ は正の定数とする。

(1) $a = \frac{1}{2}$ のとき、$y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を求めよ。

(2) $f(x)$ の最小値が -4 であるときの $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a = \frac{1}{2}$ のとき、関数は $f(x) = x^2 - 4(\frac{1}{2})x + 8(\frac{1}{2}) = x^2 - 2x + 4$ となる。

この関数を平方完成する。

$f(x) = (x^2 - 2x) + 4 = (x^2 - 2x + 1) - 1 + 4 = (x - 1)^2 + 3$

よって、頂点の座標は $(1, 3)$ である。

(2) 与えられた関数 $f(x) = x^2 - 4ax + 8a$ を平方完成する。

$f(x) = (x^2 - 4ax) + 8a = (x^2 - 4ax + 4a^2) - 4a^2 + 8a = (x - 2a)^2 - 4a^2 + 8a$

頂点の座標は $(2a, -4a^2 + 8a)$ である。

$f(x)$ の最小値は $-4a^2 + 8a$ であり、これが -4 であるという条件から、

$-4a^2 + 8a = -4$

両辺を -4 で割ると、

$a^2 - 2a = 1$

$a^2 - 2a - 1 = 0$

この2次方程式を解く。

$a = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

$a$ は正の定数なので、$a = 1 + \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $(1, 3)$

(2) $a = 1 + \sqrt{2}$