水平な地面上の地点Cに垂直に塔が立っている。地点Pから塔の先端を見上げた角度が60°であり、直線CP上で地点CからPを越えて遠ざかった地点をQとする。PQ = xとし、Qから塔の先端を見上げた角度が45°であるとき、塔の高さをxを用いて表す。

1. 問題の内容

水平な地面上の地点Cに垂直に塔が立っている。地点Pから塔の先端を見上げた角度が60°であり、直線CP上で地点CからPを越えて遠ざかった地点をQとする。PQ = xとし、Qから塔の先端を見上げた角度が45°であるとき、塔の高さをxを用いて表す。

2. 解き方の手順

塔の高さをhとする。

CPの長さをyとする。

CPQは一直線上にあるので、CQの長さはx + yとなる。

地点Pから塔の先端を見上げた角度が60°なので、$\tan{60^\circ} = \frac{h}{y}$が成り立つ。

よって、$y = \frac{h}{\tan{60^\circ}} = \frac{h}{\sqrt{3}}$。

地点Qから塔の先端を見上げた角度が45°なので、$\tan{45^\circ} = \frac{h}{x+y}$が成り立つ。

よって、$x+y = \frac{h}{\tan{45^\circ}} = h$。

$y = \frac{h}{\sqrt{3}}$を$x+y=h$に代入すると、$x + \frac{h}{\sqrt{3}} = h$となる。

これをhについて解くと、$x = h - \frac{h}{\sqrt{3}} = h(1 - \frac{1}{\sqrt{3}}) = h(\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}})$となる。

よって、$h = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1}x$。

分母を有理化すると、$h = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)}x = \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - 1}x = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}x$

3. 最終的な答え

塔の高さは$\frac{3 + \sqrt{3}}{2}x$である。