正六角形 ABCDEF について、次の数を求める。 (1) 3 個の頂点を結んでできる三角形の個数 (2) 2 個の頂点を結ぶ線分の本数 (3) 対角線の本数

1. 問題の内容

正六角形 ABCDEF について、次の数を求める。

(1) 3 個の頂点を結んでできる三角形の個数

(2) 2 個の頂点を結ぶ線分の本数

(3) 対角線の本数

2. 解き方の手順

(1) 正六角形の6個の頂点から3個を選ぶ組み合わせの数を求める。これは組み合わせの公式 $_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を用いて計算できる。ここで $n=6$, $r=3$ である。

$_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

(2) 正六角形の6個の頂点から2個を選ぶ組み合わせの数を求める。これは組み合わせの公式 $_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を用いて計算できる。ここで $n=6$, $r=2$ である。

$_6C_2 = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

これは線分の総数である。

(3) 対角線の本数は、線分の総数から正六角形の辺の数を引いたものである。正六角形の辺の数は 6 である。したがって、対角線の本数は $15 - 6 = 9$ である。または、直接計算することもできる。正六角形の各頂点から引ける対角線は 3 本。頂点は 6 つあるので $3 \times 6 = 18$ 。ただし、これでは各対角線を2回ずつ数えているので $18 \div 2 = 9$ 。

3. 最終的な答え

(1) 20 個

(2) 15 本

(3) 9 本