$x^2 + ax + 24$ が因数分解できるような整数 $a$ の値は何通りあるかを求める問題です。

1. 問題の内容

$x^2 + ax + 24$ が因数分解できるような整数 $a$ の値は何通りあるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

$x^2 + ax + 24$ が因数分解できるということは、$x^2 + ax + 24 = (x + p)(x + q)$ となる整数 $p, q$ が存在することを意味します。

このとき、$pq = 24$ かつ $a = p + q$ が成り立ちます。

$pq = 24$ となる整数の組 $(p, q)$ をすべて求め、それぞれの組について $a = p + q$ を計算し、異なる $a$ の値を数えます。

$pq = 24$ となる整数の組 $(p, q)$ は以下の通りです。

(1, 24), (2, 12), (3, 8), (4, 6), (6, 4), (8, 3), (12, 2), (24, 1), (-1, -24), (-2, -12), (-3, -8), (-4, -6), (-6, -4), (-8, -3), (-12, -2), (-24, -1)

それぞれの組について $a = p + q$ を計算します。

1 + 24 = 25

2 + 12 = 14

3 + 8 = 11

4 + 6 = 10

6 + 4 = 10

8 + 3 = 11

12 + 2 = 14

24 + 1 = 25

-1 + (-24) = -25

-2 + (-12) = -14

-3 + (-8) = -11

-4 + (-6) = -10

-6 + (-4) = -10

-8 + (-3) = -11

-12 + (-2) = -14

-24 + (-1) = -25

$a$ の値は、25, 14, 11, 10, -10, -11, -14, -25 の8通りです。

3. 最終的な答え

8通り